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벡터사이 거리 질문입니다

ㅇㅇ (121.160)

추천 0 비추천 0 댓글 9 조회수 278 작성일 2022-04-05 09:47:52

https://arca.live/b/math/47819322

벡터 u, v가 있을 때, ||u||=2, ||v||=3이라면, ||u-v||의 최대 최솟값을 구하고, 이러한 결과를 기하학적으로 설명하는건데,

||u-v|| = ||u+(-w)|| =< ||u||+||-w|| = ||u||+||w||로 최댓값 5

||u||-||v|| =< ||u-v||이므로 최솟값 -1 같은데,

벡터의 길이는 0이상인데, 어떻게 최솟값이 음수가 나올 수 있는거죠?

댓글 [9] 글쓰기

시스티나

2022-04-05 09:59:19 답글

최솟값 | ||u|| - ||v|| |임

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ㅇㅇ (121.160)

2022-04-05 10:10:14 삭제 수정 답글

절대부등식 개념이랑 햇깔리는데, 그럼 최댓값도 | ||u|| + ||-w|| | = | ||u|| + ||w|| |가 되어야 하나요?

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시스티나

2022-04-05 10:19:22 답글

어차피 절댓값 안 씌워도 양수 아닌가...?

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시스티나

2022-04-05 10:23:51 답글

길이제곱이 (제2) 코사인 법칙 때문에 ||u||^2 + ||v||^2 -2 ||u|| • ||v|| cos t라서 정확힌

(||u|| - ||v||)^2 <= ||u - v||^2 <= (||u|| + ||v||)^2

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ㅇㅇ (121.160)

2022-04-05 10:34:45 삭제 수정 답글

*수정됨

벡터사이 거리가 최대 1에서 5까지라는게 교차하지 않는 벡터같다는 의미처럼 들리는데(왜냐하면 벡터가 순간 교차하면 둘사이 거리가 0일 것이므로) 그렇다면 이걸 기하학적으로 생각하면 두 벡터의 시점 종점인 네 점이 이루는 도형이 사다리 꼴이며, 평행하는 변의 길이가 각각 1, 5인 것으로 봐도 되는 걸까요?

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시스티나

2022-04-05 12:12:39 답글

잠만 교차하면 왜 거리가 0이야? 직선 사이의 거리처럼 생각하는 게 아님

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Bremsstrahlung

2022-04-05 10:39:54 답글

-1 <= ||u-v|| 라는 수식을 얻으셨을 때 이 -1 이 정말로 최솟값으로 인정받기 위해서는 등호조건이 성립하는지 확인 하셔야되는데, 지금 상황에서는 당연히 불가능한 상황이심. 
기하학적으로 굳이 설명하자면
시점이 같고 길이 2,3 짜리 벡터가 같은방향을 바라보는 경우 → 끝점사이의 거리가 최소이고 1
시점이 같고 길이 2,3 짜리 벡터가 서로 반대방향을 바라보는 경우 → 끝점 사이의 거리가 최대이고 5

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ㅇㅇ (121.160)

2022-04-05 16:44:45 삭제 수정 답글

같은 방향을 바라본다는게 두 벡터 이루는각이 예각이라는걸 말하는건가요? 완전히 동일한 방향일 순 없잖아요

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ㅇㅇ

2022-04-05 13:05:17 답글

*수정됨

<=라는게 반드시 =일 가능성을 내포하는 것이 아니기에 그럼.

5가 3이상이라해서 3과 5가 같을 가능성이 생기지 않는 것처럼 말임

윗댓에서도 언급되었듯이, 그래서 등호를 포함한 부등호식에서 '등호가 성립할 조건'이 중요한 것임. 최대 혹은 최소가 될 때가 존재한다는 것을 암시하기도 하니까 말임

삼각부등식의 기하적 의미에 대한 예제같은데, 벡터를 평면벡터라 가정하고 실제로 두 벡터 u,v의 시점을 일치시킨 뒤 u+v, u-v를 그린 뒤 u벡터의 시점을 v혹은 -v벡터의 종점으로 평행이동 시켜서 삼각형 혹은 직선을 만들어보셈.
이 과정을 u,v를 변화시키면서 관찰해보셈.

삼각형의 성립조건, 삼각형의 작도 등의 중학교 내용을 포함하여 왜 최대인지 왜 최소인지, 삼각부등식은 무엇을 의미하는지(왜 '삼각'부등식인지) 등이 명확하게 보일 것임.

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