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질문 선의 넓이

ㅇㅇ (121.159)

추천 0 비추천 0 댓글 13 조회수 425 작성일 2022-04-06 07:18:29

https://arca.live/b/math/47887107

구분구적법에서 n등분 직사각형들이 점점 얇아져서 선으로 수렴하고 이때 n이 무한히 커질 때 직사각형 넓이 다 더한 값의 극한이 넓이라는데 이 값은 무조건 0으로 가야하는거 아님? 결국 무한한 선들을 나열했을때의 넓이라는 건데 선에도 넓이가 있음? 이게 왜 되는거임

댓글 [13] 글쓰기

Enigma

2022-04-06 07:21:42 답글

극한이 0으로 간다고 길이가 0이 된다는 소리가 아님

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ㅇㅇ (121.159)

2022-04-06 07:23:40 삭제 수정 답글

근데 극한값은 길이가 0일 때를 상정한 값 아님?

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Enigma

2022-04-06 07:25:38 답글

*수정됨

그리고 밑변 길이의 극한을 0으로 보내는것과 별개로 그만큼 직사각형 갯수도 늘어남
길이 1짜리 정사각형 하나 그려놓고 밑변 n등분 하면서 생각해봐
총넓이는 1로 그대로고 밑변은 1/n로 점점 극한이 0으로 가지만
그만큼 직사각형 갯수도 늘어나잖음.

그냥 엄청 미세하게 작은 직사각형들을 더한거지 선을 더한게 아님

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Bremsstrahlung

2022-04-06 07:27:06 답글

극한 취한것의 합이랑 합의 극한은 다른말임. 극한을 먼저 취하면 0을 더하는 것이라 님 말이 아주 틀린 말은 아니기도 한데, 합을 먼저 계산하고 극한을 나중에 취한것이라서 합을 취할 때의 값이 0 이 아닌 값들을 더하는 상황이라서 님 생각대로 되지 않는것임.

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ㅇㅇ

2022-04-06 07:35:03 답글

*수정됨

정말 쉽게, f(x)=1이라는 함수에 대해 x=0에서부터 x=1까지의 정적분값(이 경우는 넓이가 됨)을 구분구적법으로 구하는 경우를 생각해보자.
구분구적법을 사용하니까, 위의 상황에서는 n등분했을 때 모든 직사각형들의 넓이는 모두 같겠지. 
이 경우 한 직사각형의 넓이를 a_n이라 쓸 수 있음.

이제 직사각형의 갯수를 b_n이라고 쓰면
 a_n=1/n이고 b_n=n이므로
a_n이 0으로 수렴하고 b_n이 양의 무한대로 발산하게됨.

우리는 lim [(a_n)(b_n)]의 값이 궁금한건데
너의 말은 저 값을 lim(a_n) lim(b_n)으로 계산하겠다는 뜻임.
하지만 lim의 저러한 분배는 각 수열의 극한이 수렴할 때 가능함.
(참고로 위의 경우 lim [(a_n)(b_n)]= lim1 = 1임)

이것을 적당히 일반화시키면 왜 일반적으로도 너의 말이 성립하지 않는지 얘기할 수 있음.

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ㅇㅇ (121.159)

2022-04-06 07:52:42 삭제 수정 답글

적당히 일반화 해보려고 머리를 쥐어짜내고 생각해봤는데도 직사각형이 아닌 경우에 님이말한 리미트 곱꼴을 생각해볼 수가 없는데 적당한 예시 있음?

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ㅇㅇ

2022-04-06 08:00:31 답글

*수정됨

내 말은, 특수한 경우에서 성립하지 않으니 너가 말한 경우 또한 일반적으로 성립하지 않는다는 뉘앙스로 쓴건데 지금보니 내 말이 그렇게 해석이 되는게 맞네
아무튼 궁금증이 생겼으니 해결해보겠음. 저걸 직접 일반화하려면 전체 넓이 자체는 위에 언급한 두 수열의 곱꼴로 표현하기 힘듬. 하지만 적당히 꼬아서 일반화했을때 의미하는 바는 유사함.
왜냐하면 넓이 속에 x축과 접한 직사각형꼴을 만들기만 한다면 위의 논의를 적용할 수 있기 때문임.
무슨 말인지는 아래 댓글에 적고있겠음. 하지만 내가 말하고자 하는 바는 지금 맨 위에 쓴 첫줄임

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ㅇㅇ

2022-04-06 08:03:33 답글

*수정됨

f(x)=x+1의 경우, x=0에서부터 x=1까지의 정적분값(이 경우 넓이가 됨)을 구분구적법으로 구하는 경우를 생각해보겠음.
구분구적법으로 n등분하는것 까지는 똑같음.

그런데 이 그래프의 그림에서 직선 g(x)=1을 추가로 그어보면 이 경우의 넓이는 두 넓이의 합이 됨(세 점 (0,1), (1,1), (1,2)을 잇는 직각삼각형의 넓이와 네 점(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)을 잇는 정사각형)

우리는 이미 n등분을 했으므로, n등분한 상황에서도 두 넓이(직각삼각형+정사각형)의 합이 전체 넓이의 합이 된다는 점은 동일함. (유한한 넓이를 두 개의 넓이로 나누었을때 각 넓이 또한 유한값이므로)

따라서 우리는 정사각형에 대해서 먼저 논의를 적용할 수 있음. 그런데 너의 논의를 적용시키면 내가 최초에 단 댓글의 상황이 됨. 따라서 너의 논의를 계속적으로 적용시키면 여기에서 모순이 발생하게됨

우리는 어떤 함수에 대해서건 위와 같은 직사각형(정적분되는 영역 속에서 x축과 맞닿는 직사각형 영역)을 찾아낼 수 있음 (직관적으로는 납득이 가는 내용이니 따로 증명은skip. 궁금하면 따로 말하셈)
따라서 일반적으로도 위의 논의를 적용 가능함

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ㅇㅇ (121.159)

2022-04-06 08:37:38 삭제 수정 답글

그러니까 어떤함수든지 적분 구간 속 x축에 접하는 직사각형을 만들 수 있고 구분구적법(리미트 곱꼴)으로 이 넓이 구하면 적어도 0보다는 크니까 나머지 부분이 0으로 가든말든 전체의 정적분 값은 0보다 크다는 소리임?

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ㅇㅇ

2022-04-06 08:44:04 답글

*수정됨

ㅇㅇ 대충 그런 의미임. 너의 질문이 '왜 저런 식의 무한한 선들의 합이 0이 아니냐'였으니 말임.
전체적으로 정리하겠음.
무한한 선들의 합은 너의 논의를 적용하든 말든 저 상황에서는 유한값이기에,
해당 유한값을 두 유한값이 나오는 부분으로 나누었을 때에도 너의 논의(무한한 선들의 합이 0)가 적용되어야 함
직사각형의 넓이는 유한값이므로, 직사각형부분에서 또한 자연스럽게 너의 논의가 적용됨.
이 경우에서는 너의 논의가 lim[(a_n)(b_n)]을 lim(a_n) lim(b_n)로서 계산하겠다는 논의가 되므로 모순. (왜냐면 lim(b_n)은 유한값으로 존재하지 않으니까)
따라서 일반적으로도 너의 논의가 모순임을 밝혔음

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ㅇㅇ

2022-04-06 08:49:13 답글

*수정됨

내가 말하고싶은 것을 좀 더 비수학적으로 표현해보면
너가 말하는 '선'들은, lim를 적용시키기 전에는 직사각형이고 lim를 적용시켜야 선이되잖음?

원래대로라면 선이 되기 전의 '직사각형'들과 그들의 '유한개'의 합 '전체에 대한 극한'을 적용시켜야하는데,
너의 논의는 'lim를 (전체가 아닌) 각각에 미리' 적용시켜서 '선'들을 '무한'하게 합한다고 주장하는 오류라는 뜻임. (왜 정확하게 오류가 되는지를 위에서 논의한 것이고)

이것이 잘못된 것임을 직관적이면서도 수학적으로 보여주기 위해 나는 간단한 두 수열의 곱으로 표현한 것임

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he11o123

2022-04-06 14:39:12 답글

선 같은 건 없음. 선을 더했다고 생각하면 큰일남

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ㅇㅇ (118.235)

2022-04-08 00:08:51 삭제 수정 답글

*수정됨

선이라기보단 그 구간 내의 평균 밀도라고 생각하는게 더 맞지 않을까 싶긴 해.

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