선 집합 일대일대응

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선 집합 일대일대응

ㅇㅇ (211.63)

추천 0 비추천 1 댓글 36 조회수 660 작성일 2022-07-08 09:54:43

https://arca.live/b/math/53989046

어떤 선이라는 집합 두 개를 골랐을 때 그 둘은 반드시 일대일대응이 되는 거 맞음?

댓글 [36] 글쓰기

야스각이다

2022-07-08 09:56:07 답글

ㅇㅇ

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ㅇㅇ (211.63)

2022-07-08 09:56:49 삭제 수정 답글

만약에 x축이나 y축 같이 직선이면 어떻게 되는거임?

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야스각이다

2022-07-08 10:17:12 답글

길이가 무한하면 어떻게 되냐는 뜻임?

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ㅇㅇ (211.63)

2022-07-08 10:26:38 삭제 수정 답글

ㅇㅇ

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ㅇㅇ (211.63)

2022-07-08 10:32:44 삭제 수정 답글

1/x 에서 정의역에서 구간 (0,1] 과 공역의 구간 [1,inf)이 일대일 대응 되니까 길이가 1짜리 선분의 점의 개수는 직선의 점의 개수보다 1많다라고 생각할라 했는데 원소 개수가 무한한 집합끼리는 일대일대응을 한 번 만들지 못했다고 하더라도 그것이 일대일대응이 불가능하다고는 확정을 짓진 못하길래 모르겠음

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시스티나

2022-07-08 10:18:06 답글

시스티나

2022-07-08 10:18:20 답글

맞음

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ㅇㅇ (211.63)

2022-07-08 10:58:05 삭제 수정 답글

유한한 길이의 곡선이라는 집합에서도 맞는 얘기임?

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시스티나

2022-07-08 11:01:35 답글

ㅇ

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ㅇㅇ (211.63)

2022-07-08 11:02:48 삭제 수정 답글

*수정됨

그건 어떻게 증명하는거임 곡선을 직선으로 바꾸는 건가

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시스티나

2022-07-08 11:03:14 답글

걍 길이 생각하면 되지 않나

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ㅇㅇ (211.63)

2022-07-08 11:04:45 삭제 수정 답글

*수정됨

곡선의 길이? 구체적으로 어떻게? 곡선의 길이 구하는거 미적분에서 본거 같긴 한데

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시스티나

2022-07-08 11:05:27 답글

ㅇㅇ 대충 처음부터 끝까지 10% 지점은 10%지점이랑 대응시키고 12.3%지점은 12.3% 지점 대응시키고... 하면 되잖음

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ㅇㅇ (211.63)

2022-07-08 11:25:59 삭제 수정 답글

그럼 결론은 길이가 유한할 때 한정으로 직선집합과 곡선집합, 직선집합과 직선집합, 곡선집합과 곡선집합 이 세가지 경우 모두 일대일대응이 가능하다인거임?

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시스티나

2022-07-08 11:26:23 답글

무한해도 됨. 탄젠트 함수 그래프 생각해보셈.

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ㅇㅇ (211.63)

2022-07-08 11:30:12 삭제 수정 답글

선분이라는건 수직선 상에서 닫힌구간으로만 대응되는거 아님?

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시스티나

2022-07-08 11:32:54 답글

그니까 선분이랑 뮤한한 곡선도 일대일로 대응됨

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ㅇㅇ (211.63)

2022-07-08 11:38:49 삭제 수정 답글

어떤 구간을 선분으로 세팅한거임?

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시스티나

2022-07-08 11:40:25 답글

아무거나? (-π/2, π/2)는 tan 함수로 (-∞,∞)랑 1ㄷ1 대응이고

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ㅇㅇ (211.63)

2022-07-08 11:42:48 삭제 수정 답글

(-pi/2, pi/2) 이게 선분이랑 대응될 수 있다는 거임?

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시스티나

2022-07-08 12:11:16 답글

걔는 선분은 아니긴 함. 양끝점이 미포함이라서. 근데 선분이랑 대응은 됨

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ㅇㅇ (211.63)

2022-07-08 12:33:35 삭제 수정 답글

아래 사람들이 구간 얘기하는거 보고 님이 얘기하려는거 제대로 이해했음 근데 곡선이 상위개념이고 직선,포물선 등등이 하위 개념인건 검색해서 지금 처음 알아서 그런데 위의 질문을 정정해서 제대로 질문해보겠음 길이가 유한이든 무한이든 상관없이 곡선이라는 집합을 두 개 고르면 그 두개는 반드시 일대일대응을 이루는 거 맞음?

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시스티나

2022-07-08 12:43:28 답글

ㅇㅇ 다 크기가 실수랑 같아

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ㅇㅇ (211.63)

2022-07-08 12:50:33 삭제 수정 답글

그리고 끝점에 구멍 나있는건 곡선 아니라고 보면 됨?

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시스티나

2022-07-08 13:01:44 답글

보통 그렇긴 함

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ㅇㅇ

2022-07-08 11:10:30 답글

'선'이라는 단어는 굉장히 애매한 단어임. 그래서 너가 생각하는 선이 무엇인지, 너가 어떤 수준인지에 따라 굉장히 다양한 답변이 가능해서... 이 두 개 자세하게 써주면 자세하게 답할 수 있음.
예를 들면 현재 고등학교까지의 수학은 다 알고, 선이라는 것은 수직선 상의 곡선에 한정한다 같은 것 말임.
(맥락상 선은 수직선상의 곡선, 평면상의 곡선, 공간상의 곡선 셋 중 하나일 것 같긴 한데..)

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ㅇㅇ (211.63)

2022-07-08 11:20:59 삭제 수정 답글

수준은 고등수학 미적분까지만 아는데 수직선이냐 평면이냐 공간이냐에 따라 답변이 다 달라지는 거임? 질문한건 3개 통틀어서 질문한건데

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ㅇㅇ

2022-07-08 11:22:06 답글

3개 통틀어서 질문한거라면 아예 따로 글을 쓰는게 낫겠다
쓰고있겠음

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ㅇㅇ

2022-07-08 11:44:55 답글

*수정됨

글로 쓰다보니 이것저것 자세하게 쓰니까 너무 길어져서... 그냥 댓글로 대충대충 쓰겠음

가장 먼저, 실수 a, b, c, d (a<=b, c<=d)에 대해
1. 구간 (a,b)와 구간 (c,d)는 일대일 대응임. 점 (a,c)와 점(b,d)를 잇는 직선의 방정식에 의함.
2. 구간 (-pi/2, pi/2)와 구간 (-inf, inf)는 일대일 대응임. 탄젠트함수에 의함.
3. 따라서 구간 (a,b)와 구간 (-inf, inf)는 일대일 대응임.

4. [0,1]과 (0,1)은 일대일 대응임. 함수 f: [0,1] -> (0,1)을
f(x)=x (x≠0, x≠1/(2^i), i는 음이 아닌 정수)
f(0)=1/2, f(1)=1/(2^2)
f(1/2)=1/(2^3), f(1/2^2)=1/(2^4)... 라고 정의하면 f는 일대일대응임.
(노파심에 풀어서 쓰자면, f(1/2^홀수)=1/(2^다음홀수), f(1/2^짝수)=1/(2^다음짝수) 라는 대응임)
(이렇게 끝점을 안쪽으로 '넣는' 대응이 직관적으로 와닿지 않으면 '무한호텔'에 대해 검색해보셈)
5. 따라서 [a,b]와 (c,d)는 일대일대응임.

6. [0,1)과 (0,1)은 일대일 대응임. 함수 f: [0,1)->(0,1)을
f(x)=x (x≠0, x≠1/(2^i), i는 자연수)
f(0)=1/2, f(1/2)=1/(2^2), ... 라고 정의하면 f는 일대일 대응임.
7. 따라서 [a,b)와 (c,d)는 일대일 대응이고, 이는 (a,b]의 경우에도 유사함.

8. [0,pi/2)와 [0, inf) 또한 tan함수에 의해 일대일 대응임.
9. 따라서 [a,b)와 [c,inf) 또한 일대일 대응이고, 이는 (a,b]와 (-inf,b]의 경우에도 유사함.

따라서 구간의 모든 경우 (a,b),(a,b],[a,b),[a,b],(-inf,a],[a,inf),(-inf,inf)에 대해 서로가 일대일 대응임을 보였음.
이를 일반화한 공간에 대해서는 아래에 적겠음.

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ㅇㅇ

2022-07-08 11:56:20 답글

*수정됨

위에 보니까 선분에 대해서 적었던데, 수직선 상의 "곡선"은 항상 구간임. 이를 증명하려면 나는 위상수학적 증명밖에 못해서 넘어가겠음. (심지어 구간임을 증명하기 위해, 특성화정리라는, 어떤 집합이 구간이라는 것과 동치인 명제를 써먹기도 해야함)

공간에서는 곡선이 단순곡선이냐 아니냐에 따라 갈라짐.
단순곡선이란, 쉽게 말해 교차점이 없는 곡선임. 예를 들면 &는 교차점이 2개 있으므로 단순곡선이 아님.

경우1) 단순곡선인 경우
곡선의 정의 (공간상의 곡선은 실수집합의 한 구간 I에 대한 연속함수 f: I -> R^3)를 이용하겠음.
곡선 f는 단순곡선이므로 일대일함수임. 
만약 아니라면, f(a)=f(b)인 구간 I 상의 두 점 a, b가 존재하는데, f(a)=f(b)라면 교차점이 생겨버리므로 단순곡선이 아니게되어 모순.
따라서 치역만 집합 f( I )으로 줄여버리면 일대일 대응임.
(참고: 함수 f의 정의역의 부분집합 A에 대해, 집합 f(A) = {f(a) ㅣ a in A})

따라서 단순곡선은 구간 I와 일대일 대응임. 그러므로 임의의 두 단순곡선은 항상 각각이 일대일 대응이 되는 구간이 각각 존재함. 그런데 그 두 구간끼리는 서로 일대일 대응임. 따라서 두 단순곡선도 일대일 대응임.
이 논리를 일반적으로 적용하여, 앞으로는 곡선이 구간임과 일대일대응임만 보이면 충분함을 미리 적어둠.


경우2) 단순곡선이 아닌 경우 (비단순곡선 이라고 부르겠음)
단순곡선이 아니면 항상 o모양들을 가지고 있음. 가령 &은 o모양이 2개이고, 아닌 부분은 단순곡선으로서 2개임. (참고로 o모양을 '단순닫힌곡선'이라고 부름)
여기서 o모양들이 각각 적당한 구간과 일대일대응이라 가정해보고 생각하겠음.(증명은 나중에) 이 때, 나머지 o모양들이 아닌 단순곡선 부분들은 경우1에 의해 각각 적당한 구간과 일대일 대응이 됨을 생각해보셈.
각각 대응되는 구간을 A1, A2, A3, ... 라고 쓰겠음.

A1은 구간이므로, [0,1)과 일대일 대응임.
A2는 구간이므로, [1,2)와 일대일 대응임.
이런식으로 An과 [n-1,n)은 일대일 대응이므로
해당 비단순곡선은 결국 [0,1)∪[1,2)∪ ... 와 일대일 대응임. 
(유한인경우와 무한인경우는 알아서 나누어 생각)
이는 결국 구간이므로, (유한이면 [0,n), 무한이면 [0,inf))
비단순곡선은 구간과 일대일 대응임.

따라서 단순곡선이든 비단순곡선이든 구간과 일대일대응임.
따라서 공간의 임의의 두 곡선끼리는 일대일대응임.


이제 o모양이 구간과 일대일대응임을 증명하면 됨. 
o모양은 닫힌곡선이므로, f(a)=f(b)인 f의 정의역의 원소 a,b가 존재함. 
(편의상 a<b라고 가정하겠음.)

따라서 f의 정의역을 [a,b)로 축소시킨 함수 g는 o모양의 곡선을 치역으로 하는 일대일 함수이므로, 일대일대응임. (왜 [a,b)로 정의역을 '축소'했다고 표현하는지는, 곡선함수의 연속성에 의함. 역시 자세한 증명은 넘어가겠음...)

즉, o모양은 g의 정의역인 구간[a,b)와 일대일 대응임. 
따라서 o모양은 구간과 일대일 대응임.
(참고로, o모양을 '단순'닫힌곡선이라고 부르는 이유가 여기에 있음. 항상 단순곡선이도록 정의할 수 있음)

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ㅇㅇ

2022-07-08 12:07:56 답글

*수정됨

댓글 수정 완료했음.
생각해보니 위의 증명에서 빼먹은 점이 있네
만약 교차점이 비가산무한개인 비단순곡선이면 어떻게 증명하지?
아니 애초에 그런 곡선이 공간상에 존재할 수 있을까?

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ㅇㅇ (211.63)

2022-07-08 13:44:19 삭제 수정 답글

결론은 1차원,3차원에서는 곡선 집합끼리 일대일대응이 가능하다인거 맞음? 그러면 2차원에서는 어떻게 되는거임? 얘도 됨?

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ㅇㅇ

2022-07-08 13:46:57 답글

*수정됨

3차원에서 곡선 집합끼리 일대일대응이니 1, 2차원도 가능함.
왜냐면 수직선상의 곡선도 분명히 공간 상의 곡선이잖아
평면상의 곡선도 결국 공간 상의 곡선이니까 말임.

위의 증명에서 1차원을 먼저 증명한 것은, 3차원에서의 곡선의 정의에 의해 그 사실을 이용해야하기 때문에 1차원 먼저 증명한것임.

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ㅇㅇ

2022-07-08 14:15:58 답글

*수정됨

이 댓글은 여담이라 무시해도 됨. 

교차점이 비가산무한개인 비단순곡선이 존재하기는 하네
일단 x축상의 한 무리수점에서, x축과 접하도록 반지름이 1인 원을 상반평면에 그림. 이 작업을 모든 무리수에 대해 해주면 되겠네. 즉, 마치 노트의 스프링이 x축상에 놓여진 그림이 나오게됨.

이는 그래프상으로는 그냥 구역 R={(x,y) in R^2ㅣ 0<=y<=2 }와 다를바가 없어보이겠지만, 확실한건 분명히 임의의 유리수 q에 대해 점 (q,0)라던가, 점 (q,2)라던가는 절대로 곡선상의 점이 아님.
만약 R의 경계의 점만으로 예시를 든게 불편했다면 점 (q,1)을 생각해주면 됨. (확실하게 R의 내부의 점임!)
왜냐하면 (r,1)이 곡선상의 점이도록하는 유리수 r이 존재한다면,
두 점 (r+1,0), (r-1,0) 중 한 점은 같은 원 상에 속하므로 곡선상의 점이어야 하는데 위에서 언급했듯이, 점 (q,0)들은 곡선에 속하지 않잖음.
결국 무리수집합은 비가산집합이지만 완비되지는 않았기에 이러한 틈이 생긴 것 같음.

그런데 굳이 저런 틈을 찾을 필요가 있었을까?
임의의 구역은 사실 곡선이 되도록 정의할 수 있지 않을까?
즉, 구간을 정의역으로 하고 구역을 치역으로하는 연속함수가 존재할까?
가령 위의 예시에서 모든 무리수점에 접하는게 아니라, 모든 실수점에 접하도록 원을 그린다면, 그냥 위에서 언급한 구역 R을 곡선이라고 칭할 수 있지 않을까?
생각해보면 평면과 직선은 집합으로서 크기가 같으니까 왠지 그래도 문제는 없을 것 같긴 한데... 잘 모르겠음

아무튼 다시 원래 얘기로 돌아가자면, 저 경우에 해결법은 근데 의외로 간단하더라... 애초부터 모든 비단순곡선은 단순곡선이도록 정의할 수 있더라.
위에서 언급한 "o모양을 단순곡선으로 만드는 방법"을 이용하면 됨. 교차점이 생기는 정의역의 원소 a, b에 대해, f(a)는 그대로 냅두고 f(b)는 그냥 구간과의 대응을 이용하면 됨. 이 경우 f(b)는 곡선 안쪽으로 넣어지게됨.(직관적으로 와닿지 않으면, [0,1)과 (0,1)을 어떻게 대응했는지를 생각해보셈). 한 마디로 '끝점을 정의하지 않는 곡선'으로 분해하여 교차점에 이어붙이면 됨.
따라서 경우2는 경우1에 의해 완전히 증명되게됨.

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시스티나

2022-07-08 11:26:41 답글

유한한 곡선은 [0,1]과 위상동형

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블랙라바

2022-07-08 11:54:54 답글

임의의 개구간은 실수전체집합이랑 적당한 탄젠트함수로 일대일대응이 됨. 이제 반개구간이랑 폐구간도 이거랑 슈뢰더-번스타인 정리 쓰면 집합의 원소 수 같음을 보일 수 있고(정확하게는 cardinality가 같음), 그러면 일대일대응이 존재함을 보일 수 있음.

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