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간단한 문제 삼각함수 문제

사렌은내아내

추천 0 비추천 0 댓글 3 조회수 398 작성일 2022-10-07 11:02:26

https://arca.live/b/math/60193627

A+B+C=180도 를 만족할때

cosA+cosB+cosC의 최댓갑을 구하시오

댓글 [3] 글쓰기

야스각이다

2022-10-07 11:10:08 답글

보통 이런건 ABC가 서로 같을 때가 최대던데

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timeroad

2022-10-07 12:33:27 답글

*수정됨

되게 재밌게 구함.
A를 잡으면 나머지 B+C=π-A임.
그러면 B와 C를 각각 {(π-A)/2+k}와 {(π-A)/2-k}로 할 수 있음. 

그러면 삼각함수 공식을 써서
2cos((π-A)/2)cos(k)+cos(A)로 만들 수 있지.

범위를 따져보았을 때
0<A<π이고, 0<(π-A)/2<π/2임.
따라서 cos((π-A)/2)는 항상 양수이고, 본 식이 최대가 되려면 cos(k)는 범위 내에서 최대여야 함.
0≤k≤(π-A)/2인데 이러면 절반은 겹치니까 0≤k≤(π-A)/4로 일반화 함.
그러면 0≤k<π/4가 되서 cos(k)의 최댓값은 cos(0)=1.

식은 2cos((π-A)/2)+cos(A)가 된다.
2cos((π-A)/2)=2sin(A/2)고 반각공식에 의해 cos(A)=1-2(sin(A/2))^2.
1+2sin(A/2)-2(sin(A/2))^2에서 f(A/2)=sin(A/2)^2-sin(A/2)라 했을 때 f(A/2)가 최소가 되어야 함.
(편하게 보면) f(x)=sinx^2-sinx에서 미분하면 f'(x)=2sinxcosx-cosx=cosx(2sinx-1).
f'(x)=0인 x에서 cosx=1이거나 sinx=1/2여야 함. 0<x<π/2니까 cosx≠1. 따라서 sinx=1/2여야 한다.
(여기서 최소인 것은 양 끝 값과 이계미분한 결과물이 아래로 볼록인 걸 보면 됨. 풀이에선 생략.)

따라서 x=π/6, A=π/3.
k=0이므로 B=C. 따라서 A=B=C=π/3. ■

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ㅇㅇ

2022-10-11 23:03:43 답글

젠?센 부등식

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