최근에 말했던 Noether's thorem에서 얻을게 무엇이냐 하는 내용에 대해 써볼까 하고 쓴 글임.
나도 모르는게 많기 때문에 혹시라도 논의가 이상하거나 잘못된 부분이 있으면 댓글로 말해주기 바람.
일단 이 글은 어느정도 고전역학과 미적분학을 한 사람들을 기준으로 작성할 생각임.
지금부터 내가 할 이야기는 영문위키에도 나와있어서 더 심화된 내용을 보고싶다면 이쪽을 참고해도 좋을 것 같음.
이 글의 내용은 Ryder, Quantum Field Theory 를 따라감. 이 책의 3장에 대한 소개 및 요약에 가까운 얘기를 할거야.
일단 물챈러라면 뇌터의 정리(Noether's thoerem)라는 이름을 한번쯤은 들어봤을 것임.
뇌터의 정리가 왜 중요하냐고 물어보면 한줄로 정리할 수 있는데
"어떤 대칭성이 있으면 해당하는 보존 법칙 뿐만 아니라 보존량도 준다."
일단 라그랑지안과 고전역학에 대해 어느정도 알고있다고 가정할게.
일단 이 글을 쓰게된 이유는 장론에서 뇌터의 정리를 서술할 때의 문제 때문임.
고전역학에선 그냥 canonical momentum이 보존된다고 말하면 되지만 장에 대한 라그랑지안은 다음과 같이 생겼음.
그럼 이때는 보존 되는게 뭔가? 책에선 canonical momentum이 아니라 energy-momentum tensor라는걸 알려주는데 장론 교재에서 설명하는 방식이 새로운게 아니고 사실 다 같은 방식이거든.
이걸 생각해보기 위해서 먼저 고전역학에서 뇌터의 정리와 보존량을 어떻게 구하는지를 다시 한번 볼 필요가 있어.
결국 우리가 근본적으로 추구하는건 Stationary action일 때 임.
일단 stationary일려면 극점이어야겠지. 그래서 저 action의 derivation이 0이라고 놓고 계산하면 극점을 가질 조건이 나올 것임.
이런 derivation을 취했을 때를 생각해보는 것이고 일단 stationary일려면 극점이어야지.
그래서 저 action의 derivation이 0이라고 놓고 계산하면 극점을 가질 조건이 나올 것이고 이게 바로 오일러-라그랑주 방정식임.
뇌터의 정리는 이 오일러-라그랑주 방정식으로부터 시작하는데, 그럼 오일러-라그랑주 방정식을 만족하는 얘들이 stationary action을 가지려면 어떤 조건을 만족시켜야 하냐는 문제로부터 출발했음.
이때 우리가 가하는게 바로 symmetric한 변환이야. 한마디로 변환을 해줘도 action의 값이 변하지 않으면 오일러 라그랑주 방정식을 만족시킬 것이고 이걸 통해서 뭐가 보존되는지 알아낼 수 있다는 아이디어를 떠올렸다 보면 될 것 같음
그렇다면 임의의 translation에 대한 symmetry가 있다고 해보자. 이때 중요한건 infinitesimal한 변화만 보고싶은 것임. (global한 얘기는 좀 더 나중에 gauge transformation 같은 얘들 얘기로 넘어가서 한참 건너뜀)
여기서 variation이 어떻게 일어나는지가 중요함.
우리는 이렇게 일어나는 변환에 대해 생각할 거란 말이지.
쉽게말해 좌표의 변화와 parameter의 변화를 나눠서 고려해줘야한다는 얘기임.
그랬을 때 나올 전체적인 변환은 다음과 같음.
여기서 중요한건 우리는 boundary에 대해 0이 되는걸 고려하지 않아도 된다는거임. 말 그래도 임의의 translation에 대해 고려해주는거임. 대신 더이상 부분적분을 할 때 boundary에 대한 적분 term을 날려버리면 안됨.
이정도 준비가 끝났으면 이제 action의 변화량을 구해보자.
이렇게 나오고 따라서 라그랑지안이 시간을 explicit하게 포함하고 있지 않으면 전체적인 변환이 항등변환이 되어야 한다.
따라서 전체변환이 라그랑지안에 대한 대칭인 것을 알 수 있다.
이므로 general한 변환에 대해 적분 속의 식이 0이 되어야하므로
이고 이게 우리가 원하는 뇌터의 정리이다.
그리고 우변을 시간으로 변분해주면 얻는게 바로 Noether current라는 보존량이다!
살펴보면 알겠지만 위와 같은 변환은 전체 변환이 0이라는 조건 때문에 헤밀토니안이 상수인 것을 알아낼 수 있다.
이외에 time translation만 가한 경우나 coordinate traslation만 가한 경우는 실질적으로 라그랑지안이 안변하지 않는다. (total derivative가 0이 아님). 이 경우들에는 각각 hamiltonian, canonical momentum이 Noether current가 된다.
이게 바로 우리가 하나의 변수에 대해서만 변환을 해서 보존량을 구하고싶을 때 그걸 가능하게 만들어주는 과정이다. 이 이후에 장론에서도 이것과 똑같은 방식으로 Noether's theorem에 대해 기술하는데 이는 장론에 대해 특별하게 적용한게 아니라 고전역학에서 우리가 하던 것을 그대로 가져온 것에 불과하다는 것을 알 수 있다.
결국 Stationary Action이라는 성질은 translation이 어때야하는지에 대한 condition까지 주는 아주 강력한 성질이었다는걸 뇌터가 발견하고 이걸 통해 보존량을 구해준거임.
그렇다면 다음 글에선 장에서의 변환은 무엇이 다른건지에 대해 알아보도록하자.
(혹시 수식을 더 이쁘게 넣는 법을 아는 사람들은 댓글로 알려주면 좋을거 같음. 고민을 하다 결국 안보이는 것보다는 화질 좀 포기하고 덜 이쁘게 넣는 방법울 택했는데 스크린 샷 말고 이 두 개를 잘 해결할 수 있는 방법이 있을까?)
