화학과인데 원자에서 에너지를 퍼텐셜이랑 운동 에너지의 기댓값을 구하는게 가능함? - 물리 채널

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질문 화학과인데 원자에서 에너지를 퍼텐셜이랑 운동 에너지의 기댓값을 구하는게 가능함?

ㅇㅇ

추천 0 비추천 0 댓글 6 조회수 273 작성일 2022-09-08 03:16:55 수정일 2022-09-12 15:35:48

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https://arca.live/b/physics/58212563

수소 원자나 H_2^+같은 단순한 분자의 해밀토니안을 H=T+V로 나타내면 <f|H|f>=<f|T|f>+<f|V|f>로 나타내서 분자 에너지의 퍼텐셜, 운동에너지 기댓값을 구할 수 있음? 아니면 기댓값의 합이 해밀토니언의 고윳값과 달라지나?

분자간 결합을 원자핵의 안정화라고 설명하는 경우랑 퍼텐셜 우물의 넓이로 설명하는 경우를 둘 다 봐서 아예 직접 계산할 수 있으면 실제로 어떤지 확인해보고 싶음, 근데 생각해보면 그게 그거같기도 하네

*질문탭으로 수정

댓글 [6]

ㅇㅇ (183.109)

2022-09-08 05:04:44 삭제 수정 답글

*수정됨

원자핵 두개를 고정시키고 그 사이의 거리를 R이라고 하고, 두 원자핵 주위에 있는 전자의 해밀토니안을
H = p^2 / 2 m - e^2 / r - e^2 / |r - R|
로 쓴 다음에 (여기서 p, r은 operator이지만 R은 operator가 아니라고 하고) 전자의 바닥상태 |0>를 계산, 마지막으로
E_tot = <0|H|0> + e^2 / R
을 계산하면 계 전체(원자핵 2개와 전자 하나)의 에너지를 R의 함수로 쓸 수 있음. 계산상의 편의를 위해 e나 m을 모두 1로 놓고 풀어도 정성적인 분석은 같으니 수치적으로라도 함 계산해보는거도 나쁘지 않을 듯

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ㅇㅇ

2022-09-08 05:11:53 답글

보른 오펜하이머 근사에 따라 핵간 거리를 주어진 값으로 취급해서 정상상태 계산하는건 한번 들어본 적 있는 것 같음. 근데 아예 해밀토니언의 퍼텐셜이랑 운동항을 따로 분리해서 기댓값을 구하면 그 합이 해밀토니안의 고윳값과 같을지 궁금했음.

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ㅇㅇ (183.109)

2022-09-08 05:15:54 삭제 수정 답글

임의의 상태 |a>에 대해 <a|H|a> = <a| (T + V) |a> = <a|T|a> + <a|V|a>는 항상 성립하겠지. |a>가 H의 고유상태면 위 식이 H의 고유값을 줄거고

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ㅇㅇ

2022-09-08 05:19:34 답글

ㅇㅇ (183.109)

2022-09-08 05:25:30 삭제 수정 답글

이게 해당 계에 대해서 성립하는지 확인해보고 싶으면 위의 one-body 근사처럼 H, T, V를 수식으로 쓰고 어떤 고유상태 |0>를 구해야 계산을 할 수 있을  듯. 보른-오펜하이머 근사를 안쓰고 three-body로 하는 방법도 있겠지만, 이건 사실상 계산이 불가능한 수준이고.

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ㅇㅇ

2022-09-08 08:05:28 답글

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