※읽으시기에 앞서 주의사항※

제 수학 실력이나 설명이 미흡한 부분이 많을 수 있습니다.

공대에서 배운 수학을 기준으로 하니까 학문적으로는

오류가 많을 수 있습니다.

그런 경우에는 좀 못 배운 사람이 하는 거니까 너그러이 이해해 주시거나

어 나는 좀 더 잘 설명할 수 있을 것 같에 라는 느낌이 드시면

조용히 저도 배울 수 있게 글을 작성해주시면 좋겠습니다.

예전에 봤었던 미분적분학을 다시 꺼내서 읽어봤습니다.

보니까 삼각함수의 도입 부분에 라디안을 정의하는 부분이 나오더군요

이건 정답은 아니니까 그냥 이런 길이 있다 정도로 이해해주시면 좋겠습니다.

삼각함수를 정의하기 전에 보통 라디안을 정의한다.

이건 내 지론인데 보통 함수를 좌표평면에 표현하기 때문으로 사료된다.

좌표평면은 실수 축 2개로 이루어지는데

보통 x축, y축을 직교시켜서 표현된다.

(그림판으로 그려서 그런지

똑바로 안 그려지네요...)

이제 우리가 각도를 표현할 때 쓰던

각도를 왜 라디안으로 바꿔야 하는지

설명하자면 이런 느낌입니다.

위 그림처럼 실수 축에 비해 표현되지 않는 범위가 많습니다.

상기한 바와 같이 이 사례를 좌표 평면 위

원으로 옮긴다면

이렇게 좌표평면 상에

분리된 듯한 원으로 표현됩니다.

따라서 도, 분, 초 단위에서

라디안으로 도입할 필요성이

생겼습니다.

그래서 수학자들이

360(도) = 2PI(rad)으로 정의했습니다.

여기까지는 왜 라디안이 나와야했는지

설명한 것이니까 이해하도록 노력하십쇼

이제 여기서 수학적으로 생각해보면

왜 360(도)가 하필 2PI(rad)냐

라고 의문이 들텐데요

일단 단위 원을 그려보시면

아마 여기서도 왜 하필 단위 원이죠?

라고 물으시는 분들이 많을 것 같아서 말씀드리자면

수학도 결국 어떤 규칙을 가지고서

정리를 만들기 때문에

가장 기본이 되는 어떤 것에서

복잡한 것들을 설명하고 싶어하기 때문에

단위 원을 통해서 설명합니다.

단위 (무언가)가 좋은 게

단위 (무언가)가 기본이라

단위 (무언가)랑 비슷한 게 많은 것들은

단위 (무언가)에서 파생 시킬 수 있다는 점입니다.

이제 왜 단위 원 쓰는 거임?라고

묻는 분은 없으리라 믿고서 설명하겠습니다.

다들 주지하시듯 원의 각도는 360(도)임

이 360 (도) = 2PI 라는 것인데

이걸 정의하기 위해서

단위 호(임의로 만든 용어입니다.)

반지름을 1로 가지는 호

를 만들어봅니다.

이때 각도 (세타)가 1(rad)이 되면

호의 둘레의 길이가 1이 되는 사실을 알게 됩니다.

여기서 호의 둘레랑 호의 각도 사이의 관계를 식으로 나타내면

(호의 둘레) ∝ (호의 각도)

로 서로 비례 관계가 있음을

표시해주고

이제 여기서 보통은

(호의 둘레) = (상수 보통 k) X (호의 각도) 해서

호의 각도 비교하면서

k까지 구하는 과정을 밟지만

호의 둘레에 영향을 미치는 변수가

호의 각도만 있어서

(호의 둘레) = (호의 각도) 의

등식이 성립하게 됩니다.

여기서 사람들은 단위 호 이니까

좀 더 욕심 부려서 이것을 보편적인

호에도 적용하고 싶어했습니다.

일반적인 호로 전환하기 전에

먼저 정의했던 호의 등식을 바꿔야 합니다.

나중에 일반화 된 호의 등식의 변수와 혼동을

방지하기 위해서

(단위 호의 둘레) = (단위 호의 각도)로 바꿔 놓습니다.

이제 단위 호라는 것이 반지름이 일정한 호를 의미하기 때문에

반지름을 변경 시켜 봅니다.

위 그림과 같이

호의 반지름 변화에 호의 둘레가

영향을 받는 다는 것을 알 수 있습니다.

(호의 둘레) ∝ (호의 반지름)

의 관계를 알 수 있습니다.

이제 약간의 수학적 꼼수를 이용하면

위에 썼었던

(단위 호의 둘레) = (단위 호의 각도)를

(단위 호의 둘레) = 1 X (단위 호의 각도)로 바꾸고

이때 곱해진 1 이 단위 호라 반지름이 1이 된 것이라

1을 (반지름으로 바꾸면)

(호의 둘레) = (반지름) X (호의 각도)로 쓸 수 있습니다.

여기까지는 사실 어떻게 보면 자명한 것이기 때문에

아시는 분은 그러련히 하셔도 될 것 같습니다.

이제 반지름이 같은 R로 엮인 호와 원을 비교합니다.

서로 같은 영향을 주는 변수를 가진

결과들

(여기선 원의 둘레와 호의 둘레의 관계

똑같이 반지름과 각도를 변수로 가진다.)

사이에선

비례식이 성립합니다.

변수가 두 개면 풀기 힘들어서

반지름을 고정 시켜서 풀 거임

둘레를 비교할 겁니다.

원의 둘레는 2 X PI X R 임을 알고 있으니까

위에서 구한 호의 둘레 식을 이용해서 비교할 텐데

호의 둘레는 R X (세타)

비례식을 이용

360(도) : 2 X PI X R = (세타) : R X (세타)

이 식을 풀면

(2 X PI X R) X (세타) = 360(도) X ( R X (세타) )

양변에 같은 것을 치우면

360(도) = 2PI라는 결과를 얻을 수 있습니다.

아마 수학자들은 그냥

바로 원 둘레랑 호 둘레 비례식 세워서

라디안 정의했을 것 같습니다.

이상 삼각함수 입문인 라디안에 대한 설명이었습니다.

현생 살다가 시간 되면 다음 편도 작성해보도록 하겠습니다.