제목을 레이튼스럽게 짓긴 했는데, 사실 그 만한 내용은 아님 ㅎ;

그림은 빨간 조명과 파란 조명으로만 구성된 3x3 조명판을 위에서 내려다 본 모습이고, 그리고 이를 컨트롤하는 3+3개의 화살표 스위치를 나타낸 것이다. 화살표 스위치를 누를 경우, 화살표 방향으로 레이저가 발사되어 지나는 모든 조명의 색을 반전시킨다.

예를 들어 위의 상황에서 ㄱ 스위치를 누른 경우, 아래와 같이 조명이 반전된다.

문제1) 주어진 처음 상황에서, 화살표 스위치만을 조작하여 9개의 모든 조명을 한 가지 색깔로 바꿀 수 있을까? 

바꿀 수 있다면, 눌러야할 화살표 스위치의 순서를 써라. (ex: 1ㄱ23ㄴㄱ) (그것이 최소로 누르는 방법인가?)

바꿀 수 없다면, 증명하여라.

※ 이제 위의 그림을 자연스레 확장하여,  n x n 조명판과 2n개의 화살표 스위치를 생각하자. (여전히 조명의 색깔은 파랑 아니면 빨강이며, 스위치를 누를 경우 발사되는 레이저에 의해 반전되는 것은 동일하다.)

이 때, 조명판의 모든 조명이 한 가지 색깔로만 바뀌도록 누를 수 있는 스위치의 순서를 조명판의 '가능순서'라 부르고, 모든 가능순서들 중 스위치를 누르는 횟수가 최소인 그 수를 조명판의 '가능수'라고 부르자. 그리고 0을 포함한 유한가능수가 존재하는 조명판을 '가능조명판', 아닌 것을 '불가능조명판'이라 부르자. (단, n은 2 이상의 자연수만 고려한다.)

문제2) 모든 nxn 가능조명판의 가능수 중 최솟값은 0이다. 최댓값은 몇인가?

문제3) 서로 다른 nxn 불가능조명판은 총 몇 개가 있을까?

일단 내용 자체는 상황에 따라 현 중2 또는 현 고2 수준의 내용으로 충분히 풀 수 있는 문제....기는 함

그런데 문제 3으로 가면 갈수록 내 풀이법, 힌트 없는 기준으로는 좀 더 진득하게 이것저것 만져보면서 생각해봐야 함.

물론 이게 유명한 문제 같아보이기는 한데, 

사실 이 문제는 내가 고전 게임의 퍼즐을 풀다가 우연히 찾아낸 꼼수?에서부터 생각해낸 문제라 실제로 있는 문제인지 아닌지는 잘 모르겠음.... (혹시 아는 사람이 있다면 소개해주길 바람)

그래서 다른 풀이법이 있는지도 모르고, 답이 정확한지 조차도 모르긴 함 ㅋㅋ

아무튼 풀이법을 서로 비교해보는 합의(?)의 시간을 가졌으면 좋겠음.

써놓은 힌트도 다 내 풀이법 기준이니까, 힌트 외에 번뜩이는 아이디어가 있다면 소개해줘잉~

아 그리고 오해를 방지하기 위해 '깔끔한 풀이의 존재성'에 대한 힌트는 필수적일 것 같음.

문제1, 2에 해당하는 내 풀이법은 상당히 깔끔하니 안심하고 방법을 찾아주길 바람! 

(문제3은 내 풀이법 기준으로는 복합적인 사고를 요구함)

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댓글 링크에, 작성자와 완전히 다르게 행렬의 rank를 활용한 멋진 풀이가 있음!

그래서 나의 생각은 여기 링크에 간략하게나마 남겨봄. 혹시 다른 생각이 있다면 여전히 환영임!
https://arca.live/b/math/101042062?p=1