각각의 a ∈ (0, 1] 및 ε ∈ (0, a) 마다 네 점 (0, a), (a-ε, a), (a, 1), (1, 1) 을 잇는 piecewise linear path 를 그래프로 삼는 연속함수

f(x) = 1,   if x ∈ [a, 1],
a + (1 - a)(x - a + ε)/ε,   if x ∈ [a-ε, a],
a,   if x ∈ [0, a]

를 고려하면, f(f(x)) = 1 이고 ∫_0^1 f(x) dx = 1 - a + a² + ε(1-a)/2 가 됩니다. 따라서 a 와 ε 의 값을 변화시켜봄으로써, 주어진 적분이 (3/4, 1] 의 범위의 값들은 모두 커버한다는 사실을 알 수 있죠.

반대로, 해당 증명을 까보면 주어진 적분의 값이 3/4 는 될 수 없다는 사실도 알 수 있습니다. (이게 성립하려면 f(x) 의 최소값이 a = 1/2 여야만 하고, 그러면 구간 [1/2, 1] 에서 f(x) 는 항등적으로 1 이어야 하는데, 이 두 조건 (즉 [0, 1] 위에서 f ≥ 1/2 이고 [1/2, 1] 위에서 f ≡ 1) 및 f 의 연속성만으로도 ∫_0^1 f(x) dx > 3/4 가 성립함은 쉽게 보일 수 있습니다.)

그러므로 (3/4, 1] 이 실제 범위가 되죠.