첫 항에서 [x+y]=1 그냥 계산하면 될 것 같은데.

x=1, y=1일 때만 [x+y]=2인데, 연속함수 적분할 때 적분 구간에서 한 점 빼봤자 어차피 적분값은 안 변하니.

적분 구간은 그냥 제 1사분면(x축 포함)에서 y=x, x=0, x^2+y^2=1, x^2+y^2=4로 둘러싸인 공간 2개 중 바깥 부분이네.

그러면 중심각이 45도인 부채꼴 두 개(반지름 2, 반지름 4) 구간에서 각각 적분해 준 뒤에 큰 거에서 작은 거 빼주면 될 듯.

r은 2 이상 4 이하, theta는 0~pi/4 범위로,
x=r cos theta, y= r sin theta로 치환 적분하면 풀릴 것 같은데.

f(r, a)= (cos a)^2/r  = (1+cos 2a )/(2r)       (a는 theta) 이니까 적당히 적분 구간에서 계산해 주면 되겠지. 

[x+y]=1로 놓는 것도 잊지 않고.