(X, T)를 위상 공간이라고 하자. 

정의 -1) X의 멱집합은 P(X)로 표현하고, P(X)={A | A⊆X }이다. 즉, X의 모든 부분 집합을 원소로 갖는 집합이다. 

정의 0) (X, T)가 위상 공간이라는 것의 정의 :    (open set 기준으로 정의)

a. T의 원소들은 모두 A의 부분집합이다.  (즉, T⊆ P(X)=(X의 멱집합) )

b. T의 부분 집합 S에 대해, U A  (A∈S) 는 T의 원소이다.  (즉, arbitrary union에 대해 닫혀 있다.)

c. X와 empty set은 T의 원소이다.  

d. T의 두 원소 A, B에 대해, A∩B는 T의 원소이다.  (즉, finite intersection에 대해 닫혀 있다.)

정의 1) A⊆X라고 하자. 그러면, A가 open in (X, T)라는 것은, A∈T라는 의미다.

정의 2) A⊆X라고 하자. 그러면, A가 closed in (X, T)라는 것은, (X-A)∈T라는 의미다.

정의 3) S ⊆ P(X)=(X의 멱집합) 이라고 하자.  그러면, S가 locally finite 하다는 것은, ∀x∈X,  ∃G_x ∈T such that {A∈S| A∩G_x ≠empty set} is a finite set. 이라는 의미다.

정의 4) S ⊆ P(X)=(X의 멱집합) 이라고 하자.  그러면, S가 locally finite in (X, T)라는 것은, ∀x∈X,  ∃G_x ∈T such that {A∈S| A∩G_x ≠empty set} is a finite set. 이라는 의미다. 

정의 5) A⊆X라고 하고, (A, T')을 위상공간이라고 하자. 그러면, (A, T')이 subspace of (X, T)라는 것은, T'={A∩G | G ∈T} 라는 의미이다.

연습 문제) S ⊆ P(X)=(X의 멱집합) 이라고 하자.  

그리고 S가 다음의 3가지 조건을 만족한다고 하자. 

1.  U A  (A∈S) =X     (S는 X의 cover이다.)

2. ∀A∈S, A is closed in (X, T).   (S는 closed set들의 집합이다.)

3. S is locally finite in (X, T).    (모든 X의 원소 x에 대해, x를 원소로 갖는 열린 집합 G_x가 존재하여, S의 원소들 중에 G_x와 서로소가 아닌 원소들은 유한 개이다.)

그리고 B⊆X라고 하고, ∀A∈S, (A, T_A)를 (X, T)의 subspace라고 하고, 

그러면, 다음의 2가지를 보여라. 

(B is open in (X, T) ⇔ ∀A∈S, B∩A is open in (A, T_A) )

(B is closed in (X, T) ⇔ ∀A∈S, B∩A is closed in (A, T_A)