아래 세븐일레븐 유머글(https://arca.live/b/math/38784236)을 보고 생각난 것을, (어느정도는 정리하였으나) 기본적으로 내 의식의 흐름의 순서대로 나열한 것임을 밝힘. 따라서 글이 논리의 순서를 따르지 않을 수 있으며, 생각의 흐름에 따라 기술되었음
맨 밑에 4줄요약 있긴 한데 생각의 과정을 생략하고 결론만 적은 내용이라 저거만 봐도 이해가 잘 되는지는 몰?루
임의의 서로 다른 자연수 n과 k에 대해, n진법 숫자로 표현된 주어진 두 자연수를, 그 수가 사실은 k진법 숫자로 표현되었다고 가정하고 그 수를 다시 n진법 숫자로 환원하여 두 수를 더한다고 하자. k를 적절히 선택함으로써, n진법 숫자 표현의 임의의 자연수를 표현하는 것이 가능한가?
ex)원본 글의 경우, 십진법의 7과 11를, 16진법으로 표현되었다고 가정하여 7과 (16+1)로 간주하여 다시 십진법으로 환원하여 7과 17을 합하면 24가 나온다. 이때 16진법이 아닌 다른 진법을 선택하면 그 합이 십진법에서의 24가 아니라 다른 수가 될 것임은 자명하다. 그렇다면, 이 방법을 통해 모든 자연수를 표현할 수 있을까?
0. n과 k는 같은 수여서는 안 된다.
만일 두 수가 같다면, 임의의 두 자연수의 합을 임의의 자연수와 같게 할 수 있다. 말도 안되는 일이다.
1. 일반적으로, k는 n보다 커야 한다.
k가 n보다 작다면, n진법 숫자로 표현된 수 중 k진법 숫자로 표현할 수 없는 수가 존재한다. 가령 n=10, k=2라면, 3~9를 포함하는 모든 수를 k진법에서 표현할 수 없다.
1-1. 단, 주어진 수에 따라 k가 n보다 작을 수는 있다.
가령 주어진 두 수가 십진법으로 15와 3인 경우, 6~9진법은 선택할 수 있다.
2. 더하는 대상이 되는 두 수 중 적어도 하나는 n진법 숫자 표현이 한 자리 수가 아니어야 한다.
n진법에서 한 자리 수는 k진법에서도 한 자리 수이다.(*) 더하는 두 수가 모두 한 자리 수일 경우, n진법과 k진법에서의 합이 언제나 동일하다.
(*) 십진법에서의 3이 이진법에서 11로 표현된다거나 하는 차원의 논의가 아니다. k진법에서 한 자리의 숫자로 표현할 수 없는 숫자를 포함하는 n진법 수는 애초에 논의에서 배제하고 있다.
2-1. 2번은 또한, 두 진법에서의 '외관상' 동일한 숫자 표현이 실질적으로 서로 다른 수를 가리키는 이유와도 관련이 있다.
모든 진법은 n^0의 자리, n^1의 자리, n^2의 자리, ... 하는 식으로 해당 진법의 이름이 붙는 수의 거듭제곱으로 수를 표현한다. 그런데 n^0은 0이 아닌 n에 대해 항상 1이므로, 한 자리 수끼리의 합은 어떤 진법으로 나타내든, 원래의 진법으로 환원하면 같은 수를 가리킨다.
3. 두 수 중 어느 하나가 한 자리 수이고 나머지 하나가 1X꼴로 나타나는, 두 자리 수이고 n의 자리 숫자가 1인 수일 경우, k를 적절히 변경함으로서 n진법에서의 합보다 큰 임의의 자연수를 만들어낼 수 있다.
가령 7과 11의 경우, 십진법에서의 합은 18이나, 11진법이라 가정하고 합하면 7+(11+1)=19, 12진법이라 가정하면 7+(12+1)=20, ... 하는 식으로 19 이상의 임의의 자연수를 생성할 수 있다.
이는 곧, n의 자리 숫자가 1임에서 기인한다. n을 k로 바꾸었을 때, 1의 자리 숫자는 수의 크기에 영향을 미치지 않고 오직 n의 자리 숫자, n^2의 자리 숫자, ... 들만 수의 크기에 영향을 준다. 그런데 n의 자리 숫자가 1이 아니라 2였다면, n을 1씩 변경함에 따라 수의 크기는 2씩 변할 것이므로, 홀수나 짝수 중 어느 하나는 모두 표현할 수 없게 된다.(*)
(*)가령, 7과 11의 예에서 11이 아니라 21을 택하면, 십진법에서의 합은 28, 11진법에서의 합은 7+(22+1)=30, ... 하는 식으로 2씩 커진다. 일반적으로 n의 자리 숫자가 j면 n을 1씩 키워나갈 때 수는 j씩 커진다.
또, 두 수가 모두 두 자리 수일 경우에도 문제가 된다. 이 경우, n진법의 n의 변화의 영향을 두 수가 동시에 받게 되기 때문이다. 가령 11과 12를 생각하면, 십진법에서의 합은 23이나, 11진법에서는 (11+1)+(11+2)=25가 된다.
4. 두 자리 수 범위에서, 위 3번에서의 예외와 같은 문제들은, 정수가 아닌 k를 허용함으로써 해결할 수 있다.
예를 들어 7과 21의 경우, 10.5진법, 11.5진법 등 분모가 2인 유리수를 허용함으로써 원래의 합인 28보다 큰 임의의 자연수를 표현하도록 할 수 있다.(10.5진법 : 7+(21+1)=29 / 11.5진법 : 7+(23+1)= 31 / 정수진법에서는 짝수가, 분모가 2인 유리수진법에서는 홀수가 표현된다)
11과 12의 예시도 마찬가지로, 분모가 2인 유리수를 허용함으로써 문제를 해결할 수 있다.(10.5진법 : (10.5+1)+(10.5+2)=24, ...)
5. 지금까지의 과정을 정리하면, 두 자리수 범위에서, 주어진 문제는 다음과 동치이다.
an+b, cn+d로 표현되는 두 수의 합 (a+b)n+(c+d)에 대해, n을 k로 바꾸었을 때의 합 (a+b)k+(c+d)가 원래의 합보다 1만큼 커지도록 하는 정수 k를 찾을 수 있는가?
답 : 일반적으로 그런 정수는 존재하지 않으나, 유리수진법을 허용한다면 그런 유리수 k는 k={(a+b)n+1}/(a+b)=n+{1/(a+b)}로 언제나 존재한다.
이 공식에 의해 정해진 k를 새로운 n으로 잡고 위 공식을 반복 적용하면 수학적 귀납법에 의해 원래의 합보다 큰 임의의 정수를 표현할 수 있고, 점화식으로 표현되는 수열로 나타낼 수도 있다.
5-1. 세 자리 수로의 확장은 역시 다음과 동치이다.
an²+bn+c+dn²+en+f+1=ak²+bk+c+dk²+ek+f
이 역시 k에 대한 이차방정식이므로 근의 공식을 적용하면 풀어낼 수 있다.
단, 허근을 갖는 경우는 배제하기로 한다. 위 식이 허근을 갖는다면, 원래의 수 an²+bn+c과 dn²+en+f 역시 복소수이고, 복소수에 1을 더해봤자 실수로 돌아오지는 않으므로 이는 우리가 원하는 결과가 아니다.
따라서 이 경우, 원하는 k가 존재하지 않을 수 있다.
6. 위 결론을 확장하면, 네 자리 수는 삼차방정식의 해로 표현되므로 실근이 반드시 하나는 존재하고, 다섯 자리 수는 다시 사차방정식의 해이므로 실근이 존재하지 않을 수도 있다.
또한, 여섯 자리 수 이상은 5차 이상의 방정식의 해로 나타나는데 일반적으로 5차 이상의 근의 공식은 존재하지 않으므로, 짝수 자리 수의 경우에만 그러한 k가 존재한다는 것이 보장되나 구체적인 방법은 알 수 없고, 홀수 자리 수의 경우는 존재성조차 보장할 수 없다.
4줄요약
1. n진법 두 수를 k진법 수로 간주하고 n진법으로 환원했을 때의 합이 n진법의 임의의 자연수가 되도록 k를 항상 잡을 수 있을까
2. 3은 2진법에 존재하지 않는 것과 동일한 이유로, 일반적으로는 원래의 합보다 작은 수를 나타내는 k를 잡을 수 없음
3. 원래의 합보다 큰 방향으로 나아갈 경우 위 문제는 (두 수의 최대 자리 수)-1차 방정식과 동치임
4. 따라서 여섯 자리 수 이상부터는 근의 공식이 존재하지 않기 때문에 일반적으로 k를 구할 방법을 알 수는 없음. 홀수 자리 수는 모든 근이 허근일 가능성이 있기 때문에 그런 k가 존재하지 않을 수 있음
하라는 공부는 안하고 이런거나 하고 있네
그치만 재밌는걸
