유리수라고 가정하고, Q=a/b라고 하자. 일반성을 잃지 않고 gcd(a,b)=1이라고 하면 N^Q = p/q인 서로소인 자연수 p,q가 존재하고, N^a=p^b/q^b이다. 즉, N^a * q^b = p^b인데, p,q,N 모두 자연수여야 하므로 이를 만족하는 a가 b의 배수여야 하고, 모순이 발생한다.
우변을 소인수분해꼴로 나타내면 모든 지수가 b의 배수가 되어야 하고, 소인수분해가 유일하므로 좌변의 소인수분해와 같아야 하는데, q^b 또한 각 지수가 b의 배수이므로 좌변과 우변의 지수가 같다고 둘 때 mod b를 취하면 N^a의 어떤 소인수분해의 지수도 mod b가 0이 되어야 함. N^a의 소인수분해꼴을 b승으로 묶을 수 있고, N^a가 적당한 자연수의 b제곱꼴임을 알 수 있음. N^a에 b제곱근을 취한 수 N^Q도 자연수이고, 처음 가정에 모순됨. ->마지막 줄을 a가 b의 배수여야 한다고 말한거임