간단하게만 쓰자면 정수집합은 자연수집합에서 덧뺄셈으로 확장할 수 있는 자연스러운 최소한의 확장으로 정의 되고
자연수 순서쌍 (a,b)를 정수 a-b로 대응하고 동치관계를 (a,b)~(c,d) 를 a+d=b+c 라고 두면 자연수의 덧셈 뺄셈 곱셈 만으로 음수 포함한 정수로 엄밀한 확장이 가능하고
유리수집합은 (a,b)를 a/b로 대응하는 방식으로 똑같은 방법을 사용해서 정수에서 유리수로 확장 가능함.
유리수에서 실수로의 확장은 해석학 전공책에서 실수가 가지는 완비성관련 챕터에 잘 설명 되있을거고
실수에서 복소수로 확장은 실수계수 다항식을 (x^2+1)로 나눈 나머지로 대응하는 방식으로 자연스럽게 정의 가능하긴 한데
디테일한 내용은 댓글로 적기엔 너무 힘들다