abcde 라는 수가 있으면 abcde=10000a+1000b+100c+10d+e이고 이 수를 (9999a+a)+(999b+b)+(99c+c)+(9d+d)+e로 분리할 수 있음 이는 3(3333a+333b+33c+3d)+a+b+c+d+e로 구분할 수 있고 3(3333a+333b+33c+3d)가 3의 배수이므로 a+b+c+d+e도 3의 배수여야함. 물론 이것보다 더 많은 자릿수도 같은 방법으로 증명가능
a_n 을 자연수 X의 n번째 자리의 수라그러면
X = sum n=1 to N, a_n * 10^(n-1)
Y = X - (sum n=1 to N, a_n) = sum n=1 to N, a_n * 9*k_n , k_n 은 1, 11, 111 과 같은 꼴의 정수로 표현할 수 있음.
즉, Y는 3의 배수의 합으로 구성되어 있으니 9의 배수, 3의 배수이고
각 자리수 합이 3의 배수라면 X는 3의 배수 + 3의 배수 꼴이므로 3의 배수 ■