2. 편의상 카드의 수를 a1, ... , a9, a10 로 정의하고 a9 = a10 라고 가정.
얘네로 만들 수 있는 모든 경우의 수를 다 더한 값은 9(sum an).
101 ~ 109 조합중 중복된 경우가 하나는 무조건 존재함.
다 더하면 945, 여기다 101~109 중 더했을때 9의 배수가 되는 경우는 108 뿐.
즉 a1+...+a10 = 117, a1+...+a9=108.
중복된 수는 이 둘의 차인 9.
1번은 mod 9에서 보면 23x==x(mod 9), 22x==0(mod9) 이므로 x==0(mod 9)이고, mod 23에서 보면 당연히 x==0(mod 23). gcd(9, 23)=1이므로 x==0(mod 207).
N=207n이라고 두면, N의 모든 자릿수의 합은 9n.
n=1일 때 N=207이 성립하는 것을 볼 수 있음. 이후에는 성립하는 자연수 N이 없는 것을 보이기 위해서는 세자리수의 경우 자릿수의 합은 27이 최대, 네자리수의 경우 36이 최대임을 이용하고, 몇개 정도만 확인하면 될 것 같네요.
5. 4자리 이하이므로 자릿수의 합은 9*4=36 이하, 따라서 N은 23*36=828 이하이므로 N은 3자리 이하.
N을 abc 라고 하면 100a + 10b + c = 23(a + b + c) 에서 77a = 13b + 22c, 그러면 13b가 11의 배수이므로 b = 0
7a = 2c 에서 a = 2, c = 7 (자연수를 양의 정수로 해석해서 0은 제외함)