문제는 여기 : https://arca.live/b/math/53593967

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세종 기출인데요 암산으로 풀고 당당하게 답 말했는데 다시풀어보니까 아님 ㅠ



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(1)

초록색 부분의 넓이를 구하기 위해서, 아래 그림과 같이 대각선과 변을 연장해서 삼각형을 만든다.

그러면 "초록색 부분과 주황색 부분으로 된 삼각형"은 그 아래쪽의 삼각형과 닮은꼴이며 길이는 1.5배이므로

"초록색 부분과 주황색 부분으로 된 삼각형" 의 높이는 30 * 3/5 = 18

따라서  "초록색 부분과 주황색 부분으로 된 삼각형" 의 넓이는 15 * 18 / 2 = 135

주황색 삼각형의 넓이는 5 * 10 / 2 = 25 이므로, 초록색 부분의 넓이는 135 - 25 = 110


(2)

연두색 부분의 넓이를 구해서 4를 곱하면 된다.

편의상 θ = (1/3) π 라 하자.

먼저 각BOC = θ 임을 보인다.

A 를 지나는 AO 의 수선이 원과 만나는 점을 X, Y 라 하고

CA 의 연장선이 원과 만나는 (C가 아닌) 점을 Z,  X 를 지나는 AC 의 평행선이 원과 만나는 (X가 아닌) 점을 W 라 하자.

그러면 호 XB = 호 YZ ,  호 XC = 호 WZ 이므로  호 YW = 호 BC 가 성립한다.

각 YXW 는 호 YW 의 원주각이고 각 YXW =  θ/2  이므로, 호 YW 의 중심각의 크기는  θ 이다.



선분 BA의 연장선이 원과 만나는 (B가 아닌) 점을 D 라 하고, 직선 OA 가 원과 만나는 점을 그림과 같이 E, F 라 하자.

그러면 AC = AD

또 원이므로 AB • AD = AE • AF 가 성립한다.

따라서 AB • AC = AB • AD = AE • AF = r^2 - OA^2


연두색 부분의 넓이는 다음과 같이 구할 수 있다.

부채꼴 OBC 의 넓이 - 삼각형 OBC의 넓이 + 삼각형 ABC 의 넓이


부채꼴 OBC 의 넓이 = r^2  θ / 2 = (3/2) π 

삼각형 OBC 의 넓이 = (1/2) r^2 sin θ

삼각형 ABC 의 넓이 = (1/2) AC • BC sin θ = (1/2) (r^2 - OA^2) sin θ


따라서 연두색 부분의 넓이는

(3/2) π - ( (1/2) r^2 sin θ ) + ( (1/2) (r^2 - OA^2) sin θ )

= (3/2)  π - (1/2) OA^2 sin θ

= (3/2) π - (1/2) 4 (√3 / 2)

= (3/2) π -  √3 

구하는 넓이는 6π - 4√3