수열 {a_n}의 첫째항: a 공차: d_a
m번째 항까지의 합: S_m
수열 {b_n}의 첫째항: b 공차: d_b
m번째 항까지의 합: T_m
증명할 명제: 모든 자연수 m에 대해
a_m+a_(m+1)>b_m+b_(m+1)인것과 S_m>T_m인 것은 필요충분조건인가?
풀이
a_m+a_(m+1)=2a+(2m-1)d_a
b_m+b_(m+1)=2b+(2m-1)d_b
S_m=m(2a+(m-1)d_a)/2
T_m=m(2b+(m-1)d_b)/2
결국 위 문제를 간단하게 하면
모든 자연수 m에 대해 2a+(2m-1)d_a>2b+(2m-1)d_b과
2a+(m-1)d_a>2b+(m-1)d_b는 필요충분조건이다.
반례: a=2 b=3 d_a=10 d_b=7
a_m+a_(m+1)=4+(2m-1)×10=20m-6
b_m+b_(m+1)=6+(2m-1)×7=14m-1
이러면 20m-6>14m-1(m은 자연수 이므로)
그러나, S_1=a_1=2<T_1=b_1=3
결론: 두 명제는 서로 필요충분조건 관계가 아님
