문제 링크 > https://arca.live/b/math/66207861

해석학(2) 시험지 확인하러 가서 저 오타와 관련하여 조교님과 한 번 생각을 해 봤었다.

들어가서 이야기를 나누는 동안 조교님도 나도 저것이 굉장히 어려운 문제라는 것에 동의를 했었고.

그런데 나와서 집 가는 길에 답이 생각났었다.

저거, 생각보다 쉬운 문제였다. 힌트를 얻으면 한 방에 해결이 되는 문제고.

일단 굳이 infinite case를 볼 필요가 없다. 두 개의 매우 작은 measure를 가진 set들의 합집합이 언제든지 infinite measure를 가지도록 만들 수가 있다.

E1=Qⁿ은 Rⁿ 내에서 조밀한 집합이다. 그리고 어떤 non-empty open set도 내포할 수 없으므로(Euclidean topology에서), measure 0이다.

임의의 매우 작은 양수 0<ε<1에 대해서, E2=(-½ε, ½ε)ⁿ은 당연히 measure가 εⁿ이고.

그럼 E1+E2는 무엇일까? 당연히 Rⁿ이다. 거리집합에서 조밀하다는 것은, 러프하게 설명하자면 임의의 점 x와 E1 사이의 거리가 항상 0이라는 것을 의미하니까.

방금 우리는 임의의 양수 ε보다 measure가 작은 두 개의 집합으로 infinite measure set을 만들었다. 임의 차원 유클리드 공간에서.

적당히 i>2에 대해서 Ei={0}으로 두면 infinite case에서도 비슷한 결론을 얻을 수 있다.

결론. m*(E)의 상한은 알 수 없다.