문제: V와 W가 벡터 공간이고 U는 W의 부분공간이며, L은 L : V -> W 의 형태를 가지고 있는 선형 변환이라고 하자.

X = {v ∈ V : L(v) ∈ U} 라고 할 때, X가 V의 부분공간임을 증명해라.



이 문제를 풀면서 가장 헷갈린 건 closure addition and scalar multiplication이 아니라 영벡터 관련 증명에서 헷갈리는 게 있었음

부분공간을 만족하는 조건 중 첫번째는 해당 집합은 비어있지 않으며, 영벡터가 포함되어 있다 잖아


우선 내가 먼저 든 생각은 이거였음

X는 이러나저러나 해도 벡터공간 V에 속하는 v들의 집합이며, 이 v들은 L(v)가 U에 속한다는 조건을 가지고 있잖아

만약 영벡터가 X에 속한다면 그것은 벡터공간 V의 영벡터일 거라 생각했음

이름은 모르는데 배웠던 정리 중에, L이 선형 변환일 경우 L(0_V) = 0_W 라고 알고 있거든

그런데 여기서 문제가 생김 내가 기초가 부족한 건지는 몰라도

0_W가 U에 속하는지 너무 헷갈리는 거임

그래서 물어보니까 W와 U는 같은 영벡터를 공유하고 있다는데 사실임??