X1, X2, ... , Xn ~N(a, s^2)이고,

Y1, Y2, ..., Yn ~N(b, s^2)이며, X1, X2, .., Xn, Y1, Y2, ..., Yn은 서로 독립임. 

참고로 N(a, s^2)의 확률밀도분포는 1/s*sqrt(2pi)  * e^(-(x-a)^2/(2s^2)) 임. 

그러면, 

 의 확률 밀도 분포를 구하면 됨.

이떄, 분모와 분자는 각각 N(0, ns^2)로 서로 독립합등분포임. (Independent and identically distributed random variables)

(이유는, 서로 독립적인 두 확률 분포 X~N(A, B), Y~N(C, D)에 대해, (A+B)~N(A+C, B+D) 가 성립하기 때문.)

따라서 (1)은 

X~N(0, ns^2) , Y~N(0, ns^2) 이고,  X와 Y는 서로 독립일 때, X/Y의 확률 밀도 함수를 구하라는 문제가 된다. 

확률 밀도 함수를 구하는 방법은, 대충

(알려진 공식을 이용하거나) 누적분포함수 F를 구하고, 그 누적 분포 함수를 미분하면 된다. 

X의 확률 밀도함수를 f(x), Y의 확률 밀도함수를 g(y)라고 하자. 

참고로 f(x) = g(x) =1/s*sqrt(2n*pi)  * e^(-x^2/(2ns^2))이다. 

그리고 c를 실수로 고정하고, X/Y≤c 일 확률을 구해보자. (즉, F(c)=P(X/Y ≤c)를 구함.)

그러면, f(x)f(y) 를 구간 {(x, y) ∈R^2 | x/y≤c }에 대해서 적분하면 된다.   (이를 위해 미적분2 필요.)

(f(x)f(y)라고 할 수 있는 이유는, X와 Y가 독립이기 때문임. R^2 상에서 점 (x, y)가 나올 확률은 첫 번째 성분이 x일 확률 * 두 번째 성분이 y일 확률 = f(x)f(y)라는 거임.)

그 다음에 F를 c로 편미분해주면 된다. 

즉, 최종적으로는 저 적분을 해 준 것에 c를 편미분해 준 것을 얻으면 된다. 

그러면, 적분 영역을 신경써줘야 된다.

y=cx 그려넣고, x/y≤c 를 만족하는 영역을 그려보면 대충 어떻게 적분 구간 나눠줄지 감이 올 거다. 

위 그림을 보면 c가  0 이상인 경우, 음수인 경우 케이스 분류해 줘야 될 것 같은 느낌이 든다.

참고로, P(x/y≤c)=1-P(x/y ＞c) 이다. 

그리고 X와 Y의 확률 밀도함수는 각각 우함수이므로, 

X/Y의 확률밀도함수도 우함수이다. 

그러니 c가 0 이상인 경우만 확인하면 된다. 

1) c가 0 이상인 경우

적분 구간이 넓어보이는  P(x/y≤c) 대신 P(x/y ＞c)를 다루자. 

P(x/y ＞c) =integral f(x)f(y) over {(x, y) | x/y ＞c} = 

integral (x=-infinity~0) integral (y=-x/c~0) f(x)f(y) dydx +integral (x=0~infinity) integral (y=0~x/c) f(x)f(y) dydx 

=2*integral (x=0~infinity) integral (y=0~x/c) f(x)f(y) dydx 

=2*integral (x=0~infinity) f(x)*integral (y=0~x/c) f(y) dydx

integral (x=-infinity~0) integral (y=-x/c~0) f(x)f(y) dydx=integral (x=0~infinity) integral (y=0~x/c) f(x)f(y) dydx 인데, 그 이유는 f(x)=f(-x), f(y)=f(-y)이기 때문이다. 

(참고로, 적분 구간을 저렇게 이중 적분으로 표현할 수 있는 이유는 지금 우리가 다루고 있는 적분 구간이 충분히 좋은 성질을 만족하고 있어서 Fubini theorem을 적용할 수 있는 덕분이다. Fubini theorem 관심 있으면 찾아 보던가. 다변수 적분할 때 매우 중요한 공식임.)

근데, 우리가 원하는 것은 F를 c로 편미분해주는 것을 원한다. 

그러면,  ∂integral (x=0~infinity) integral (y=0~x=x/c) f(y) dydx / ∂c 

=integral (x=0~infinity) f(x)* ∂ integral (y=0~x=x/c) f(y) dy / ∂c dx 

=integral (x=0~infinity)  -xf(x)f(x/c)/c^2 dx

=-integral (x=0~infinity) xf(x)f(x/c) dx/c^2

가 된다. 

(참고로 편미분과 적분의 순서를 바꾸는 것도 원래 함부로 하면 안 된다.  자세히 알고 싶으면 Leibniz integral rule 참고.)

xf(x)f(x/c)=x/(2n*pi*s^2)  * e^(-(1+1/c^2)x^2/(2ns^2)) 이다.

integral (x=0~infinity)  xf(x)f(x/c) dx 에서  x=(2ns^2)^0.5*t/(1+1/c^2)^0.5, x=로 치환해주자. 

그러면, 

integral (x=0~infinity)  xf(x)f(x/c) dx 

=integral (x=0~infinity)  x/(2n*pi*s^2)  * e^(-(1+c^2)x^2/(2ns^2)) dx

=integral (t=0~infinity)  t/(pi*(1+1/c^2))  * e^(-t^2) dt 

이때, t* e^(-t^2)의 부정적분 형태는 -0.5e^(-t^2)이다. 그러면, 미적분학의 기본 정리(의 확장형)에 따라 

integral (t=0~infinity)  t* e^(-t^2) dt/(pi*(1+1/c^2))  =1/(2(pi*(1+1/c^2))) 이다. 

따라서 

∂P(x/y ＞c)/∂c

=∂2*integral (x=0~infinity) f(x)*integral (y=0~x/c) f(y) dydx /∂c 

=-2*integral (x=0~infinity) xf(x)f(cx) dx/c^2

=-2/(2c^2*(pi*(1+1/c^2)))

=-∂P(x/y≤c)/∂c

∂P(x/y≤c)/∂c=1/(2(c^2)*(pi*(1+1/c^2)))=1/(pi*(c^2+1))이 된다. 

따라서 X/Y의 확률 밀도 함수는 1/(pi*(x^2+1))인 함수이다.