이거 제대로 하려면 측도론이랑 다변수 해석학 정도는 듣고 수강해야 되는 것 같음. 

가령, 편미분이랑 일변수 적분 순서 바꾸는 거 원래 함부로 하면 안 되는데, 
그러면 언제 해도 되는지 등을 배워야 함.

(1)은 분자와 분모의 분포 둘 다 N(0, σ^2/n)^2임. 이때, 분자와 분모를 σ^2/n으로 나눠주면 분자와 분모가 각각 N(0, 1)^2 ~χ(1) 꼴이 됨.  (자유도가 1인 카이제곱 분포. 이는 카이제곱 분포의 정의에 의함.)

즉, 분자가 χ(1),  분모가 χ(1)이고 서로 독립이므로  
정의에 따라 χ(1)/χ(1) ~  F(1, 1)     (F 분포)

(2)는 (n-1)Sx^2/σ^2 ~ χ(n-1) 이고, 서로 독립인 χ(n-1)꼴 2개를 더한 분포는 χ(2n-2)    (자유도가 2n-2인 카이제곱 분포)

(3)은 분자에서 X-Y는 N(u1-u2, 2nσ^2)의 정규 분포이고,   (-Y는 N(-u2, 2nσ^2)의 분포를 가진다. 서로 독립인 두 정규 분포의 합은 정규 분포이다.)

X-Y-(u1-u2) ~N(0, 2σ^2/n)

그러면, 분자를 표준 정규분포 N(0, 1)로 맞춰주기 위해, 분자와 분모를 root(2σ^2/n)으로 나눠주자. 
그러면, 

분자는 N(0, 1) 꼴이 되고, 

분모는 좀 더 수정이 필요한데, (2)를 확인해 보면, (n-1)(Sx^2+Sy^2)/σ^2 ~ χ(2n-2)  이다. 
즉, 분모는 root( χ(2n-2)/(2(n-1)) ) 꼴이다.  

그리고 Sx 와 X는 서로 독립이라는 것도 상기하자. (정규분포를 따르는 샘플들의 평균의 분포와 분산의 분포는 서로 독립임.)

그러면, N(0, 1)/ root( χ(2n-2)/(2(n-1)) ) 이고, 이는 곧 (정의에 의해) 자유도가 2(n-1)인 T 분포가 된다.