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hanyoo

추천 0 비추천 0 댓글 11 조회수 898 작성일 2021-04-10 16:07:37

https://arca.live/b/math/24279649

음이 아닌 정수 n에 대하여

a↑↑0=1

a↑↑(n+1)=a^(a↑↑n)

으로 정의되는데 이걸 n을 일반화를 어떻게 시켜야 할까요? 이걸 a에 대해 미분해보려 해도 멱급수 더럽게 복잡하게 나오고... 일반화가 어느 정도 조건 하에서는 가능하다고 하는데 자료가 적네요

댓글 [11] 글쓰기

ㅇㅇ (110.11)

2021-04-10 16:15:45 삭제 수정 답글

감마 함수처럼 모든 양수 x에 대해 확장하시려는 건가요?

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hanyoo

2021-04-10 16:16:46 답글

네 해석적 확장이 되어 있다고 하는데 자료가 없어요ㅠ

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hanyoo

2021-04-10 16:25:47 답글

영어로 치니 나오는데 음... 너무 어렵네요

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ㅇㅇ (110.11)

2021-04-10 16:33:47 삭제 수정 답글

(a↑↑n)=a^(a^(a^.... )^a)^1  (^이 n개) 를 표현하는 거군요. 

대충 

1. 미분가능한 함수
2. 증가 함수
3. 미분한 함수가 특정 조건(?)을 만족


이런 식인데.   감마함수도 이런 식으로 확장해요.  (그리고 3가지 조건을 만족하는 함수가 유일하다는 것까지)

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hanyoo

2021-04-10 16:36:22 답글

그렇죠...

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ㅇㅇ (110.11)

2021-04-10 16:38:23 삭제 수정 답글

혹은 
a^x을 확장하는 방법의 예처럼
모든 실수 x, y에 대해 a^x * a^y= a^(x+y)를 만족한다.  이런 식으로 자연스러워 보이고, 자연수 상에서 증명 가능한 대수적인 조건을 그냥 모든 실수 x, y에 대해 만족한다고 하는 방법이었는데, ↑↑ 이 만족하는 자연스러워 보이는 조건을 찾아 봐야겠네요.

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hanyoo

2021-04-10 17:41:35 답글

저 놈이 성질이 그닥 없어서...

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ㅇㅇ (110.11)

2021-04-10 20:26:58 삭제 수정 답글

*수정됨

일단, 모든 양의 정수 n, m에 대해 

(a↑↑n)^(a↑↑m)=(a↑↑(m+1))^(a↑↑(n-1))을 만족하니, 이를 모든 1 이상의 실수 x, y에 대해 성립하는 미분가능한 증가 함수라고 해보면 뭔가 나올지도.

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ㅇㅇ (110.11)

2021-04-10 21:12:04 삭제 수정 답글

*수정됨

모든 실수 x에 대해, f(x+1)=a^f(x), f(0)=1이라고 해놓으면 되겠다. 
이러면 일단 (0, 1) 구간에서 아무 함수나 잡아주면 나머지 실수들에 대해서는 자동으로 함숫값들이 유일하게 결정됨.  

그러면 이제 여기서 미분 가능한 증가함수 같은 조건을 넣어야 할 듯. (일단, 계산상 편의를 위해 a=e로 잡고)

유일성까지 하려면 아마 조건 더 필요하긴 한데. 무한 번 미분 가능하고, n계도함수가 증가함수라고 하면 뭐 좀 나오려나?  아니다. 이걸로는 유일하지 않겠다. ln 씌우고 미분한 게  증가 함수라는 조건 줘야 되나? 아니다. 어차피 ln f(x)= f(x-1)인데. 

일단 증가하는 미분가능한 함수들은 무수히 많음. 가령, g(x)=e^x이라고 잡아주고, f(x)를 계산해주면 됨.

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ㅇㅇ (110.11)

2021-04-10 22:22:01 삭제 수정 답글

*수정됨

g(x)가 [0, 1] 구간에서 0에서의 테일러 전개로 표현한 함수와 같은 함수라고 치고, 

f(x)가 무한 번 미분 가능하다고 하면,

일단 g를 n번 미분한 함수를 g_n 이라고 하면,
g를 테일러 전개한 함수는 g(x)=g(0)+g'(0)x+g''(0)/2 *x^2+g'''(0)/6 *x^3 + ... =∑ g_n(0)x^n/n! 꼴이 되어야 할 텐데, 

그러면 여기서 g(1), g'(1), g''(1) 등도 무한급수로 계산이 되고, 


이제 여기서 f(x)가 무한 번 미분 가능하다고 했으니, 
             .....
      { ln g(x+1) (x는 -1에서 0-)
f(x)={  g(x)   (x는 0~1-)
      { e^g(x-1)  (x는 1~2-)
            ....
이니 
x는 1~2- 부분에서 f(x)를 미분하면, 
g'(x-1)e^g(x-1), 
(g''(x-1)+g'(x-1)^2) e^g(x-1),
(g3(x-1)+3g2(x-1)g'(x-1)+g'(x-1)^3 ) e^g(x-1) 
.
.
.
꼴이 나오고, 

g(1)=e^g(0)   (g(0)=1이었으니 g(1)=e 여야 함.)
g'(1)=g'(0)e
g''(1)=(g''(0)+g'(0)^2)e
.
.
.
이 되는 것이고, 

그러면 여기서 gi(0)과 gi(1) 사이에 만족해야 하는 등식이 한 개 나오고, 
g(x)=∑ g_n(0)x^n/n! 이므로 i번 미분하면 
gi(x)= ∑ (n=i부터 무한) g_(n-i)(0)x^(n-i)/(n-i)! 이니, gi(1)= ∑ (n=i부터 무한) g_(n-i)(0)/(n-i)!  꼴로 표현되므로, 

대충 생각했을 때, 존재하는 경우에 아마 유일하게 존재할 듯?  (내가 아직 수학을 못 해서 증명은 잘 못하겠지만.)

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ㅇㅇ (110.11)

2021-04-10 22:28:44 삭제 수정 답글

뭔가 vector space with infinite dimension 개념이 쓰일지도 모른다는 생각이 든다.

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