솔직히 난 이거 초등적인 방법이나 기하학적인 방법으로 유도하는 방법은 모름.
일단,
cos(x)=(e^(ix) + e^(-ix) )/2 이고
sin(x)=(e^(ix)- e^(-ix) )/(2i) 임.
그러면,
2∑(k=0~n) cos(kx) =2 ∑(k=0~n) (e^(ikx) + e^(-ikx) )/2
=∑(k=0~n) e^(ikx) +∑(k=0~n) e^(-ikx) ) 가 됨.
그러면, 공비가 각각 e^ix 과 e^-ix인 등비수열의 합이라는 게 눈에 보일 거임.
여기서 주의해야 하는 게 있음. (1-r^n)/(1-r)이라는 공식을 쓸 때는 r=1이 아니라는 전제 조건이 필요함.
그러면, 엄밀함을 위해 case 분류. 그리고 e^ix=1이라는 것과 e^-ix=1이라는 건 서로 동치임.
i) e^ix =1인 경우.
그러면, 2∑(k=0~n) cos(kx) =2(n+1),
∑(k=0~n) cos(kx) =n+1임. (참고로, 이 경우에 cos (x)=1이 됨.)
ii) e^ix≠1인 경우.
이제 등비수열의 합 공식을 쓸 수 있음.
2∑(k=0~n) cos(kx)
= (e^(i(n+1)x) -1)/(e^ix-1) +(1-e^(-i(n+1)x) )/(1-e^(-ix))
= (e^(i(n+0.5)x) -e^(-0.5ix))/(e^0.5ix-e^-0.5ix) +(e^0.5ix-e^(-i(n+0.5)x) )/(e^0.5ix-e^-0.5ix)
//분자와 분모에 e^0.5ix 과 e^-0.5ix을 적절히 곱해줬음. 이로써 두 항의 분모가 같아짐.
=(e^(i(n+0.5)x) -e^(-0.5ix)+e^0.5ix-e^(-i(n+0.5)x) )/(e^0.5ix-e^-0.5ix)
=(e^(i(n+0.5)x)-e^(-i(n+0.5)x) )/(e^0.5ix-e^-0.5ix) + (-e^(-0.5ix)+e^0.5ix)/(e^0.5ix-e^-0.5ix)
= sin(n+1/2)x /sin(x/2) + 1 (분자와 분모를 2i로 나눠주면 쉽게 나옴.)
= (sin(n+0.5)x + sin (0.5x) )/sin(0.5x) 이 됨.
그럼 여기서
(sin(n+0.5)x + sin(x/2) ) = 2cos(nx/2) * sin((n+1)x/2) 가 됨. cos(A)sin(B)=(sin(A+B)+sin(A-B))/2라는 공식이 있음.
따라서 2∑(k=0~n) cos(kx) =(sin(n+0.5)x + sin (0.5x) )/sin(0.5x) =2cos(nx/2) * sin((n+1)x/2) /sin(0.5x),
∑(k=0~n) cos(kx)=cos(nx/2) * sin((n+1)x/2) /sin(0.5x) 라는 공식이, e^ix=1 이 아닐 때, 즉, x가 2npi (n은 정수) 꼴이 아닌 경우에만 성립함.
when sin(x/2) ≠0
= n+1 when sin(x/2)=0
