https://arca.live/b/math/29947601?p=1의 풀이.
구글링해본 결과 이것 하나밖에 나오지 않더라.
해당 산가쿠 문제는 일본의 과학 잡지 닛케이 사이언스의 1998년 7월호에 보도된 기록이 있음.
https://www.nikkei-science.com/page/magazine/9807/sangaku-Q.html
아무튼 문제는 다음과 같음.
문제 5. 1803년 군마현에 내걸린 산가쿠 문제. 큰 녹색 원의 반지름 위에 밑변이 놓인 이등변삼각형이 원의 안쪽에 접해 있다. 붉은 원은 삼각형의 한 꼭짓점을 지나고, 녹색 원에 그림과 같이 내접한다. 또한 이 붉은 원과 삼각형, 녹색 원에 내접하는 파란 원이 있다. 파란 원의 중심과, 붉은 원과 삼각형의 접점을 지나는 선분이 녹색 원의 반지름과 직교하는 것을 증명하여라.
해당 기사에선 다음과 같이 설명함.
수학자는 이 문제를 풀기 위해 먼저 파란 원의 중심을 지나며 녹색 원의 지름과 직교하는 선분을 긋고, 이 선분이 문제의 선분과 다르다고 가정한다. 즉 파란 원의 중심에서 그은 다른 2개의 선분이 녹색 원의 지름과 서로 다른 점에서 만난다고 하자. 이때 수학자는 두 선분이 각각 녹색 원의 지름과 만나는 점 사이의 거리가 반드시 0이 되는 것을 증명하려 한다. 이것은 두 선분은 일치하고 문제의 선분이 문제의 조건을 만족함을 나타낸다.
그림과 같이 O3에서 AC에 수선을 내리고, 그 수선의 발을 P로 한다. BP에 관한 관계식을 구하고，BP=0을 보인다.
∠O₃TH=∠MNB=∠MNC=∠NAC이므로, CN/AC=O₃H/TO₃=MC/CN임을 얻는다.
그러므로, TO₃²=AC²･O₃H²/CN²=AC･O₃H²/MC=2r₂･r₃²/(r₂-r₁)
다음으로, △O₁O₂O₃에 있어,
cos(∠O₃O₁O₂)={(r₁+r₃)²+(r₂-r₁)²-(r₂-r₃)²}/{2(r₁+r₃)(r₂-r₁)}
BP=O₁P-O₁B=(r1+r₃)cos(∠O₃O1O₂)-r₁
=(r₂+r₁)r₃/(r₂-r₁)-2r₁
O3P²=(r₁+r₃)²-(r₁+r₃)²cos²(∠O₃O₁O₂)
=4r₂r₃(r₁r₂-r₁²-r₁r₃)/(r₂-r₁)²
이 된다. △BPT과△BMN은 닮음이므로
BP･MN=BM･PT=BM･{O₃P-(O₃P-PT)}=BM･(O₃P-TO₃)임을 얻는다.
그러므로,
BP･MN･(O₃P+TO₃)=BM･(O₃P²-TO₃²)
=BM{4r₂r₃(r₁r₂-r₁²-r₁r₃)/(r₂-r₁)²-2r₂r₃²/(r₂-r₁)}
=BM･2r2r₃[{-r₃(r₁+r₂)+2r₁(r₂-r₁)}/(r₂-r₁)²]
=-BM･2r₂r₃/(r₂-r₁){r₃(r₁+r₂)/(r₂-r₁)-2r₁}
=-2r₂r₃･BM･BP/(r₂-r₁)
이렇게 해서,
BP･{MN･(O₃P+TO₃)+2r₂r₃BM/(r₂-r₁)}=0에서BP=0임을 얻는다.
이것이 수학자의 해답이다.
무슨 경시수학 레벨이야;
어쨌든 논증기하만으로 증명은 가능했던 문제. 1803년 당시 일본은 에도막부 시대였으므로 일본에 해석기하학이 아직 들어오지 않은 시대였겠지만 해석기하를 쓰면 좀 더 쉬울 것 같아보이긴 함. 해석기하로 풀어볼 사람 있으면 한번 풀어보고...
