산가쿠 문제 풀이가 예상보다 빨리 올라왔네요. ㅎ

문제: https://arca.live/b/math/29947601

kusakusa 님이 올려주신 풀이: https://arca.live/b/math/30083262

제 풀이도 올려보도록 하겠습니다.

(그림에서 h 는 O₂ 에서 AC 에 내린 수선의 길이입니다.)

제 풀이는 기본적으로 O₂B 가 AC와 수직인 점 O₂ 를 중심으로 하고 BN과 큰 원에 접하는 원의 중심 O₂의 위치를 구한 후

원O₁과 원O₂가 서로 접한다는 것을 보이는 방식입니다. 

BNM = θ 라고 하면, ANC가 직각이므로 NAC = θ 입니다. 따라서

NC = 2R sin θ

CM = 2R sin²θ 

r₁ = R - CM = R (1 - 2 sin²θ)

r₂ = h sin θ

OO₂ = R - r₂  = R - h sin θ

피타고라스 정리에 의해 (OB)² + (O₂B)² = (OO₂)² 이므로

R² (1 - 4 sin²θ)² + h² = (R - h sin θ)²

R² (1 - 8 sin²θ + 16 sin⁴θ) + h² = R²  - 2Rh sin θ + h² sin²θ

h² (1 - sin²θ) + 2Rh sin θ - 8R² sin²θ (1 - 2 sin²θ) = 0

고로 이제 이차방정식을 풀어서 h를 구할 수 있습니다.  복잡해 보이지만 인수분해나 근의 공식으로 간단히 답을 낼 수 있습니다.

( h (1 - sin²θ) - 2R sin θ (1 - 2 sin²θ) ) ( h + 4R sin θ ) = 0

h = 2R sin θ (1 - 2 sin²θ) / (1 - sin²θ)  (음수인 근은 고려할 필요가 없으므로)

이제 원O₁과 원O₂가 서로 접한다, 즉 O₁O₂ = r₁ + r₂ 임을 보이면 됩니다. 그런데 역시 피타고라스 정리에 의해

(O₁O₂)² = (O₁B)² + (BO₂)² 이므로

(r₁ + r₂)² = r₁² + h² 

⇔ r₁²  + 2r₁r₂+ r₂² = r₁² + h² 

⇔ 2r₁r₂+ r₂² = h²

⇔ 2R (1 - 2 sin²θ)  h sin θ+  h² sin²θ = h²

⇔ 2R (1 - 2 sin²θ)  sin θ = h(1 - sin²θ)

⇔ 2R (1 - 2 sin²θ)  sin θ / (1 - sin²θ) = h

따라서 원O₁과 원O₂는 서로 접한다는 것을 보일 수 있습니다.