문제 : https://arca.live/b/math/36137571


n개의 상자 중에서 m개의 상자에 돌이 들어 있으면, 나머지 n-m개의 상자에는 돌이 안들어있다.


우리가 원하는 것은 다시 말하면 모든 시행이 끝났을 때 몇개의 돌이 들어있지 않은 상자를 열었는가이다.

하나도 열지 않았을 수 있고, n-m개를 모두 열었을 수도 있다.

돌이 들어있지 않은 상자를 연 갯수를 X라고 하면, 0<=X<=n-m이고, X는 확률변수이다.


돌이 들어있지 않은 상자에 1~n-m까지 번호를 붙이자. 문제를 변형하여 n개의 상자를 모두 열고, 그 연 순서를 기록하는 것으로 생각하면, X는 마지막 돌이 나오기 전에 열어본 빈 상자의 개수이다. 돌이 들어있는 상자를 모두 무시하면, n-m개의 상자 중 몇 개를 선택하는 것과 완전히 동일하고, 이는 1~n-m번 상자 집합의 부분집합을 선택하는 것과 동일하다.

즉, X는 이항분포 Binomial(n-m,1/2)를 따른다.


따라서 X의 기대값은 (n-m)/2이고, 이미 m개의 돌이 든 상자를 열었으므로 (n+m)/2가 기대값.


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돌이 들어있는 상자는 시행이 끝났을 때 모두 열려있다. 돌이 들어있지 않은 상자가 X개 열려 있을건데, 나머지 열리지 않은 상자를 모두 열었다고 가정하면, n-m개의 상자는 m개의 상자와 시작과 끝 사이 m+1가지 경우중 하나에 열리게 된다. 

m번째 상자 뿐 아니라 나머지 m-1개의 상자도 돌이 들어있으므로 X개의 상자와 구분해야됨.

m개의 상자와 n-m개의 상자를 구별하지 않는다고 할 때, m+1가지 경우 각각에 대하여 n-m개의 상자가 몇 개 열리는지 계산하는것과 같으므로 모든 경우의 수를 균등하게 덮는다. 즉, 위에 쓴 이항분포는 1/2확률이 아니라 m/(m+1)의 확률을 갖는다.

X는 이항분포 Binomial(n-m, m/(m+1))의 분포를 따르고, 기대값 (n-m)m/(m+1)을 갖고, 이미 m개의 돌이 든 상자를 열었으므로 m(n+1)/(m+1)의 기대값을 가짐.