문제는 여기: https://arca.live/b/math/36013753
해답들은 여기: https://arca.live/b/math/36014340 , https://arca.live/b/math/36023161
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을 만족하는 두 복소수 z1. z2를 생각하자.
를 보여라.
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기하학적인 풀이가 나왔습니다만, 또다른 풀이들을 생각해 봤습니다.
3개는 기하학을 이용했고, 하나는 기하학 없이 식으로만 풀었습니다.
(풀이 1)
1) 0, z1, z1+z2 가 삼각형을 이루는 경우,
0, z1, z1+z2 로 이루어진 삼각형은 0~z1, z1~z1+z2 의 길이가 모두 1인 이등변 삼각형이며
z1+z2 는 -1에서의 거리가 1이다.
따라서 0, -1, z1+z2 로 이루어진 삼각형 역시 0~-1, -1~z1+z2 가 1인 이등변 삼각형이며 0~z1+z2 변은 공통이므로
0, z1, z1+z2 와 0, -1,z1+z2 는 합동이다.
밑변 z1+z2를 공유하고 합동인 삼각형은 2개 뿐이므로, z1= -1 혹은 z2 = -1
2) 0, z1, z1+z2 이 삼각형을 이루지 않는 경우
0, z1, z1+z2 이 일직선으로 이루는 경우, |z1 + z2| = 2 인데 z1+z2 는 -1에서의 거리가 1이므로 z1 = z2 = -1
z1+z2 가 0과 겹치는 경우 z1 + z2 = 0
1), 2) 에서 z1 = -1 or z2 = -1 or z1 + z2 = 0
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(풀이 2) - 이건 제 풀이는 아니고 동료의 풀이입니다.
1) 0 z1 z2 가 삼각형을 이루는 경우
(z1+z2)/2, 즉 z1 과 z2 를 잇는 선분의 중점을 M 이라 하면
|1 + z1 + z2| = 1 에서 | ½ + (z1 + z2)/2 | = ½ 이므로, M은 중심이 -1/2 이고 반지름이 1/2 인 원 위에 있다.
M은 이등변삼각형의 밑변의 중점이므로 0 M z1 과 0 M z2 는 서로 합동인 직각삼각형이다.
그런데 각 0 M -1 은 직각이므로 삼각형 0 M -1 역시 삼각형 0 M z1 및 삼각형 0 M z2 와 합동이다.
따라서 z1 = -1 혹은 z2 = -1
2) 0 z1 z2 가 삼각형을 이루지 않는 경우
z1 = z2 면 M = z1 = z2 이므로 M은 두 원 모두 위에 나타나야 한다. 따라서 M = -1 = z1 = z2
0 z1 z2 가 동일 직선상에 있는 경우, z1 + z2 = 0
1), 2) 에서 z1 = -1 or z2 = -1 or z1 + z2 = 0
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(풀이 3) - 약간의 계산
bar 는 표기하기 어려우므로, z의 켤레복소수는 편의상 conj(z) 로 표기하겠습니다.
또한 Re(z) 는 z의 실수부를 의미합니다.
|1 + z1 + z2| = 1
(1 + z1 + z2) (1 + conj(z1) + conj(z2)) = 1
1 + z1 + z2 + conj(z1) + conj(z2) + z1 conj(z1) + z2 conj(z2) + z1 conj(z2) + z2 conj(z1) = 1
(1 + z1 + conj(z2) + z1 conj(z2) ) + (1 + conj(z1) + z2 + z2 conj(z1) = 0
(1+z1)(1+conj(z2)) + conj( (1+z1)(1+conj(z2)) ) = 0
Re( (1+z1)(1+conj(z2) ) = 0
1) (1+z1) = 0 or (1+conj(z2) ) = 0 인 경우, z1 = -1 or z2 = -1
2) (1+z1) 과 (1+conj(z2) ) 이 모두 0이 아닌 경우
1+z1 과 1+conj(z2) 는 모두 중심이 1이고 반지름이 1인 원 위에 있으므로, 1+z1과 1+conj(z2)의 편각은 모두 -π/2 ~ π/2 범위에 있다.
(1+z1)(1+conj(z2)) 의 편각은 -π ~ π 의 범위에 있으므로, (1+z1)(1+conj(z2)) 의 편각 = -π/2 or π/2
즉 1+z1 의 편각과 1+conj(z2) 의 편각의 평균은 -π/4 혹은 π/4 이므로
각 1+z1 0 1+conj(z2) 의 이등분선은 1+i 혹은 1-i 를 지난다.
그림은 이등분선이 1+i 를 지나는 경우인데, 원주각이 같으므로 호 1+i ~ 1+z1 = 호 1+i ~ 1+conj(z2)
따라서 1+z2 는 1+z1 의 원의 반대쪽에 있으므로 z1 + z2 = 0
1), 2) 에서 z1 = -1 or z2 = -1 or z1 + z2 = 0
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(풀이 4)
마지막으로, 그림을 그리지 않는 풀이입니다.
|1 + z1 + z2| = 1
(1 + z1 + z2) (1 + conj(z1) + conj(z2)) = 1
1 + z1 + z2 + conj(z1) + conj(z2) + z1 conj(z1) + z2 conj(z2) + z1 conj(z2) + z2 conj(z1) = 1
(z1 + conj(z1)) + (z2 + conj(z2)) + (z1 conj(z2) + z2 conj(z1)) = -2
(z1 + z2 + z1 conj(z2)) + conj(z1 + z2 + z1 conj(z2)) = -2
Re(z1 + z2 + z1 conj(z2)) = -1
z1 = cos t1 + i sin t1, z2 = cos t2 + i sin t2 라 하면
cos t1 + cos t2 + cos (t1 - t2) = -1
α = (t1 + t2) / 2, β = (t1 - t2) / 2 라 하면, t1 = α + β, t2 = α - β
cos (α + β) + cos (α - β) + cos 2β = -1
(cos α cos β - sin α sin β) + (cos α cos β + sin α sin β) + (2 cos² β - 1) = -1
2 cos α cos β + 2 cos² β = 0
cos β (cos α + cos β) = 0
따라서 cos β = 0 혹은 cos α + cos β = 0
1) cos β = 0 인 경우
β = (t1 - t2) / 2 = n π + 1/2 π 이므로 t1 - t2 = 2nπ + π
즉 t1 = t2 + 2nπ + π 이므로 z1 + z2 = 0
2) cos α + cos β = 0 인 경우 α + β = 2nπ + π 혹은 α - β = 2nπ + π
α + β = 2nπ + π 인 경우, α + β = t1 이므로 z1 = -1
α - β = 2nπ + π 인 경우, α - β = t2 이므로 z2 = -1
1), 2) 에서 z1 = -1 or z2 = -1 or z1 + z2 = 0
