이게 풀 수 있는 문제인가요..?

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이게 풀 수 있는 문제인가요..?

ㅇㅇ (121.254)

추천 1 비추천 0 댓글 22 조회수 492 작성일 2021-11-25 12:38:48 수정일 2021-11-25 12:38:58

https://arca.live/b/math/39069628

제가 고2인데 저희반 애 1명이 갑자기 단톡에 수학문제를 올렸는데 이거 풀 수 있는거 맞나요..?

문제는 (x+y)(10x+y)=111y 이거구요..

x랑 y는 자연수고, 곱셈이랑 인수분해만 할 수 있으면 풀 수 있다그러는데 전 도저히 모르겠어요..

댓글 [22] 글쓰기

Se_worlP

2021-11-25 12:51:34 답글

불가능
x와 y가 모두 자연수인 경우는 없고, 정수 범위로 확대할 경우 (-492, 480), (-492, 5043), (-36, 27), (-36, 480), (0,0), (0, 111)은 가능함
친구가 주작쳤네

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ㅇㅇ (121.254)

2021-11-25 12:54:43 삭제 수정 답글

*수정됨

감사합니다!!
번거로우시겠지만 혹시 그 과정도 같이 알려주실 수 있으신가요..??
과정까지 보여줘야 믿을 것 같아서요..

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Se_worlP

2021-11-25 13:00:57 답글

고2때 기벡 배우는 학교가 아닌 이상 쌍곡선을 바로 이해하긴 어려울거임. 사실 내가 기벡 안배운 고2라 나도 자세히 설명은 못하겠고
그냥 가장 정확한 킹프럼갓파 돌려봤어
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2By%29%2810x%2By%29%3D111y

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ㅇㅇ (121.254)

2021-11-25 13:05:29 삭제 수정 답글

오오 감사합니다!!

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ㅇㅇ (121.254)

2021-11-25 13:06:12 삭제 답글

ㅇㅇ (154.27)

2021-11-25 13:45:38 삭제 수정 답글

모든 해를 구하는 건 어렵더라도 자연수 범위에서 해를 구하는 건 어렵지 않음.
우선 10 x^2 + (11x + y) y = 111 y 에서 11x + y < 111, 고로 11x < 111

y 에 대해 근의 공식을 적용하면 y = ( -(11x - 111) ∓ √( (11x - 111)^2 - 40 x^2 ) ) / 2
따라서 T = (11x - 111)^2 - 40 x^2 이 자연수의 제곱이어야 함.

T >= 0 이어야 하고 11x - 111 < 0 이므로 -(11x - 111) >= 2√10 x, 고로 (11 + 2√10)x <= 111
따라서 x = 1, 2, 3, 4, 5, 6
이제 6개의 x에 대해 T가 제곱수인 경우가 있는지를 찾으면 됨. 없음. 끝.

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hanyoo

2021-11-25 14:24:40 답글

(0,0) 자연수해

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피난민

2021-11-25 15:34:48 답글

으아악 킹받아

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hanyoo

2021-11-25 15:35:07 답글

어째서?

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피난민

2021-11-25 15:35:49 답글

0은 자연수가 아니니까...

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hanyoo

2021-11-25 15:36:21 답글

으아아아아악 0도 자연수라고 젠장 0이 자연수가 아니면 자연수는 서수가 아니겠네 으ㅏ악

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피난민

2021-11-25 15:38:54 답글

윽 집합론..머리가..

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ㅇㅇ (118.235)

2021-11-25 21:10:40 삭제 수정 답글

왜 0이 자연수가 아니면 서수가 아님? 상관 없지 않나?

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hanyoo

2021-11-25 22:56:14 답글

서수면 공집합을 원소로 가져야함.

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ㅇㅇ (118.235)

2021-11-25 22:57:49 삭제 수정 답글

1을 공집합이라 명명하면 되는거 아님?

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hanyoo

2021-11-25 23:22:12 답글

도대체 왜.... 그리고 항등원도 없는 집합을 어디에 써. (N, ×)은 그냥도 아벨군이긴 하다만은

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ㅇㅇ (118.235)

2021-11-25 23:23:49 삭제 수정 답글

그냥 수학적 귀납법이나 수열이 정의되기만 하면 신경 안써도 되는거 아니야? 차피 덧셈이던 곱셈이던 역원 없어서 써먹기 힘든건 마찬가진데. 써도 Z를 쓰는게 더 편할 듯?

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hanyoo

2021-11-25 23:27:02 답글

음.. 자연수에 0을 포함시키는 경우가 많으니까. 크게 상관은 없어

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ㅇㅇ (118.235)

2021-11-25 23:28:26 삭제 수정 답글

여튼 별 문제 없는거 맞지? 내가 잘못 알고있나 해서

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포탈건

2021-11-26 16:14:53 답글

약수와 배수를 써보자
일단 (x+y), (10x+y) 둘 중 하나는 y의 배수여야 함
x+y가 y의 배수면 x=ky, 111=(k+1)(10k+1)y
이 경우 111=3*37인데 3개 이상의 자연수 곱이 되므로 이 경우 y=1 밖에 없고, 그마저도 (k+1)(10k+1)=111이 되는 자연수 k 없음
10x+y가 y의 배수면 10x=ky, 이 경우 k or y 둘 중 하나는짝수
111=y(k/10+1)(k+1)
y가 짝수면 홀짝 모순, 그러므로 k가 짝수, y는 홀수. 상술했듯 3개 이상의 자연수 곱이 되었으므로 y=1. 몰론 이 경우 k는 10의 배수니 k=10m, (m+1)(10m+1)=111이라는 결론이 나오니 모순
이게 맞나? 일단 이렇게도 풀어봄
그리고 x, y는 자연수이고, 자연수는 곱셈 안에서 닫혀있으므로 k도 무조건 자연수, 그러므로 k+1, k/10+1은 무조건 1보다 크므로 1이 될 수 없음

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ㅇㅇ (154.27)

2021-11-26 23:35:51 삭제 수정 답글

y가 소수라는 보장이 없으니 (x+y), (10x+y) 둘 중 하나가 y의 배수일 필요는 없지 않으려나. y = y1 y2 라고 하면 하나는 111 y1 이고 나머지 하나는 y2 라거나 그런 것도 가능할 것 같은데.

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포탈건

2021-11-27 02:36:19 답글

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