자연수를 정의하는 가장 보편적인 방법은 페아노 공리계이다. 그 중 1~4번 공리는 다음과 같다. (3번이랑 4번 순서가 헷갈리네)
집합 N과 함수 S : N → N은 다음을 만족시킨다.
1. 0 \in N
2. \forall n \in N S(n) \in N
3. S is injective
4. \exists! x \in N s.t. S(x) = 0
그러면 자연수의 대소 비교는 다음과 같이 정의할 수 있다.
1. S(x) = y → x < y
2. x < y \wedge y < z → x < z
이제 다음 명제가 모두 동치임을 보여리.
(1) 수학적 귀납법
0 \in P \wedge ((\forall x)(x\in P → S(x) \in P))이면 N \subset P이다.
(2) 강한 수학적 귀납법
0 \in P \wedge ((\forall x)(\forall y<=x, y \in P → S(x) \in P))이면 N \subset P
(3) 정렬 원리
공집합이 아닌 자연수의 부분집합은 최소원을 갖는다.
