A* = AU{A}이고, 

N 자연수 집합은 이 조건을 따름 : 1) 0 in N

                                                    2) n in N => n* in N

자연수 정의 : 0 = empty, 1 = 0* = 0U{0}

                                       , 2= 1* = 1U{1} = { 0, {0} } ... 

                                                          so ∀n in N s,t n=/=0, ∃k in N s.t n=k*

유한집합의 정의 : 자연수와 집합사이 bijection이 존재, 자연수n과 집합 A가 equipotent하다고 한다.

무한집합의 정의 : 유한집합이 아닌 것, 그리고 N과 일대일 대응인 어떤 subset을 가진다.


문제 : A, B가 서로소 집합. m, n in N에 대해, A와 m이 일대일 대응, B와 n이 일대일 대응일 때,

AUB가 m+n과 일대일 대응임을 induction을 이용해 보여라, 그리고 두 유한집합의 합집합도 유한임을 결론내라


A={a0, a1... a_m-1}, B={b0, b1,.... b_n-1}로 볼 수 있다. by 각각이 m과 n이 일대일 대응이기 때문.

define h0 : AU{b0} -> m+1= m* = mU{m}  as follows : 

                                                        f(x_i) = i, (x_i in A, i in N)

                                                        f(x_i) =m+i (x_i in B, i in N),  

then x_i in A, 일 때 m의 모든 원소와 1대1 대응, x_i = b0일 때, m과 일대일 대응이므로 trivial하게  finite


h : AUB -> m+n 이 bijection하다고 가정하면, 가정을 이용해 

m+ (n+1) = m+(n*) = m+nU{m+n}도 어떤 집합과 bijection 함을 보이면, 수학적 귀납법에 의해 AUB와 m+n가 equipotent 함이 증명된다.


근데 자연수 m+n은 자신과 일대일 대응이므로 유한집합이기 때문에,  m+(n+1)이 무한집합임을 가정해 귀류법으로 m+(n+1)이 유한집합임을 증명하면 AUB가 자연수 m+n과 equipotent함을 보일 수 있는데, 이러한 방법이 induction을 이용해 올바르게 증명한거라 볼 수 있는건가요?