(1)을 부정하면 [0 in P] and [for all x, if x in P then S(x) in P] and [N is not subset of P]가 되고, (1)의 부정이 참임은 [0 in P], [for all x, if x in P then S(x) in P], [N is not subset of P]가 모두 참임과 동치이다. (진리표에 의해)
이때 첫 두 명제는 P가 N임을 이야기하고, subset은 reflexive하므로 (1)의 부정은 거짓이어야 한다.
즉, (1)은 참이다.
[for all x] quantifier는 [0 in P]에 독립이므로 for all x, if [[0 in P] and [for all y, if y in P then S(x) in P]] then [N is subset of P]와 같다. 위 식은 (2)와 동치이고, 부정하면 exist x, [[0 in P] and [for all y, if y in P then S(x) in P] and [N is not subset of P]]이다.
이때, y에 x를 대입하면 exist x, [[0 in P] and [if x in P then S(x) in P] and [N is not subset of P]]를 얻을 수 있는데, 이는 (1)에 의해 항상 거짓이고, for all y에 대한 counterexample으로 (2)의 부정도 거짓이어야 한다.
즉, (2)는 참이다.
최소원을 다음과 같이 정의하자.
Min(T) : for all x in T, Min(T) < x or Min(T)=x.
(3)을 명제식으로 쓰면, for all T, if [T is subset of N] then [exist y in T, for all x in T, y<x or y=x]이다. 부정하면 exist T, [T is subset of N] and not [exist y in T, for all x in T, y<x or y=x]이다. [for all x in T] quantifier의 x에는 y도 포함되어야 하므로 x에 y를 대입하여 exist T, [T is subset of N] and not [exist y in T, y<y or y=y]를 얻는다. y=y이므로, 진리표에 의해 (3)의 부정은 거짓이다.
즉, (3)은 참이다.
