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간단한 문제 정수론 기초

시스티나

추천 0 비추천 0 댓글 2 조회수 396 작성일 2022-01-13 16:05:04

https://arca.live/b/math/42404717

1. 정수 a, b에 대해 S = {ax + by | x in Z, y in Z} = gcd(a,b)Z를 보여라.

2. 정수 a, b, c에 대해 S = {ax + by + cz | x in Z, y in Z, z in Z} = gcd(a,b,c)Z를 보여라.

3. 이를 유한 개의 정수에 대해 확장하라.

4. 무한 개의 정수에 대해서는 어떻겠는가?

쓰고 나서 보니 2, 3은 너무 쉽다

1을 보이면 aZ + bZ = gcd(a,b) Z이므로 {ax+by+cz} = (aZ + bZ) + cZ = gcd(a,b) Z + cZ = gcd(gcd(a,b),c) Z = gcd(a,b,c) Z

댓글 [2] 글쓰기

다경

2022-01-14 04:59:32 답글

*수정됨

Z가 정수집합이지?
1. let d as d=gcd(a,b), a=du, b=dv, ax+by = d(ux+vy), ux, vy in Z obviously, "x in S->x in gcd(a,b)Z"
for d(ux+vy), gcd(u,v)=1, exist p,q s.t. pu+qv=1 in Z, for all k in Z, exist x,y s.t. ux+vy=k, d(ux+vy)=dk "x in gcd(a,b)Z->x in S"
2. 1을 중첩하여, {(au+bv)w+cz| u in Z, v in Z, w in Z, z in Z}=gcd(gcd(a,b),c)Z를 얻을 수 있고, uw=x, vw=y라 두면 성립.
3. 같은 방식으로 성립
4. 무한개의 정수가 잘 정의되지 않아서 실패

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시스티나

2022-01-14 05:34:13 답글

굿

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