실수의 구성은 사실 여기에서 살고 있는 사람이라명 알 것이라고 생각한다. 하지만 보통은 이런 곳에 상주하지 않으니 설명해보도록 하겠다.
우선 실수를 다루기 앞서, 자연수를 생각해보자.
자연수의 "정의"는 다음을 만족하는 수 체계이다. 여기서 0이 자연수이냐 아니냐는 사람들에 따라 다르지만 일단 자연수로 치는 게 여러모로 편하니 자연수를 "음이 아닌 정수"의 의미로 사용할 것이다.
Peano: 자연수는 다음을 수 체계이다.
N은 자연수의 집합이고, S는 N의 함수라고 하자.
1) 0은 N의 원소이다.
2) N의 임의의 원소 n에 대해 S(n)도 N의 원소이다.
3) 0은 어떠한 자연수 n에 대해서도 S(n)의 값이 될 수 없다.
4) S는 단사이다. 즉, S(n)의 값이 같은 두 자연수는 서로 같다.
5) 연산 S에 대해 1)과 2)를 만족하는 모든 집합은 N을 부분집합으로 갖는다.
여기서 S는 +1이라고 이해하면 편하다. 그러면 (3)의 내용은 x + 1 = 0인 자연수는 없다. 가 된다. 이는 당연하다. (4)의 경우는 a + b = c + b이면 a = c라는 내용으로 생각할 수 있다. (5)의 경우는 아주 간단하게, 0 - 0+1 - 0+1+1 - 0+1+1+1 - ...의 방법으로 모든 자연수를 만들 수 있다는 말이 된다.
가장 큰 문제는 이 조건을 만족하는 집합이 있냐는 것이다. 먼저, 초창기에 나타난 자연수의 표현은 체르멜로가 제시했다.
Zermelo:
자연수는 다음과 같이 정의할 수 있다.
0 = { }(공집합)
1 = {0}
2 = {1}, 3 = {2}, ... , S(n) = {n}, ...
이를 보완한 정의는 폰 노이만의 제시했다.
Neumann:
0 = { }
1 = {0}
2 = {0, 1} = {{ }, {{ }}}
n = {x | x는 n 미만의 자연수}
S(n) = n U {n}
이 방법의 장점은 x < y 이면 x ∈ y이고 x <= y이면 x ⊆ y라는 점이다.
자연수의 덧셈과 곱셈은, 귀납적으로 정의한다. 자연수에서 뺄셈과 나눗셈은 일반적으로 정의되는 개념이 아니니 나중에 생각하든지 하자.
+1) x + 0 = x
+2) x + S(y) = S(x + y)
×1) x × 0 = 0
×2) x × S(y) = (x × y) + x
이 성질에서 더하기와 곱하기의 모든 성질을 증명할 수는 있지만, 어렵고 실수를 다루는 데에 그 증명이 딱히 중요하지 않으니 넘기자.
자연수 다음으로, 정수를 정의할 수 있다. 자연수에는 "공리 - 페아노/구성 - 노이만"이라는 표준이 굳건하지만, 정수는 보다 다양한 방법이 쓰일 수 있다.
첫 번째로 단순하게, 자연수 N에 부호를 줄 수 있다.
1) Z는 +N과 -N의 합집합이다.
2) +0과 -0은 동치류로 친다.
3) 더하기와 곱하기는 평소에 정수 계산하던데로 정의한다. (부호가 같을 때, 다를 때로 나눠서 정의하면 된다.)
동치류를 이용할 수도 있다.
1) 정수는 자연수의 순서쌍이다.
2) 두 정수 (a, b)와 (c, d)에 대해서 a + d = b + c이면 (a, b) = (c, d)라고 친다.
+) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
×) (a, b) × (c, d) = (ac + bd, ad + bc)
곱하기가 비직관적일 수 있는데, (a, b) = a - b라고 생각하면 자연스러운 정의라는 것을 알 수 있다.
정수까지 정의했으면 뺄셈도 정의할 수 있다.
정의1) x - +y = x + -y, x - -y = x + +y
정의2) (a, b) - (c, d) = (a + d, b + c)
정수를 이해했으면 유리수도 알 수 있다.
정수에서 2번째 방법은 "자연수 빼기 자연수"로 정수를 정의했다면, 비슷하게 "정수 나누기 정수"로 유리수를 정의할 수 있다.
1) 정수 x, 0이 아닌 정수 y의 순서쌍 (x, y)가 유리수이다.
2) x × w = y × z이면 (x, y) = (z, w)라고 한다.
+) (x, y) + (z, w) = (xw + yz, yw)
-) (x, y) - (z, w) = (x, y) + (0 - z, w)
×) (x, y) × (z, w) = (xz, yw)
z != 0이면 드디어 나눗셈을 정의할 수 있다.
(x, y) / (z, w) = (x, y) × (w, z)
실수는 유리수보단 복잡하다. 정수/유리수능 구성만 했지만, 이번에는 자연수를 다뤘을 때처럼 공리를 먼저 살펴보자.
1) 실수에 더하기와 곱하기를 할 수 있어서, (R, +, ×)는 체(field)를 이룬다.
- 덧셈의 항등원 0은 실수
- 곱셈의 항등원 1은 실수
- 모든 실수는 반수(덧셈의 역원) 존재
- 0이 아닌 실수는 역수 존재
- 덧셈의 결합법칙
- 곱셈의 결합법칙
- 덧셈의 교환법칙
- 곱셈의 교환법칙
- 분배법칙
2) 실수는 대소비교를 할 수 있다.
- x < y, x = y, x > y 셋 중 하나는 반드시 성립하며 한 가지만 성립하다. (삼분원리)
- a <= b이면 a + c <= b + c이다.
- 0 <= a, 0 <= b이면 0 <= ab이다.
3) LUBP:최소상계원리 Least upper bound principle
- 실수의 부분집합 L에 대해, L의 모든 원소가 실수 x보다 작자고 하자. 그러면 L의 모든 원소보다 크고나 같은 수들의 집합을 L의 상계라고 할 때, L의 상계는 최솟값을 갖는다.
- 다른 말로 하면 다음과 같다.
실수의 부분 집합은 둘 중 하나로 나뉜다.
1) 위로 무한하게 뻗어나가는 집합
2) 상한이 있는 집합
실수에서 3번째 LUBP는 처음 보면 이해가 안 될 수 있다. LUBP를 만족하는 예시는 자연수, 정수, 실수가 있고, 만족하지 않는 예는 유리수, 무리수가 있다.
예를 들어
S를 "X^2 < 2"인 수의 집합이라고 하면,
S의 모든 자연수 X는 2보다 작고, 2보다 작은 자연수는 언제나 S에 속하거나 S의 어떤 수보다 작다.
S의 모든 정수 X는 2보다 작고, 2보다 작은 정수는 언제나 S에 속하거나 S의 어떤 수보다 작다.
그런데 유리수는, q^2 < 2라고 할 때 언제나 q보다 크고 r^2 < 2인 다른 유리수 r이 존재한다. 즉, LUBP를 만족하지 않는다.
그렇다면 정말로, 1-2-3 세 조건을 만족하는 집합이 있을까? 정답은 당연히 "있다"이다. 그러니까 수학자들이 실수를 연구했을 것이다.
그 예시가 바로 데데킨트 절단이다.
Dedekind:
다음을 만족하는 유리수의 부분집합 A를 생각하자.
1) A는 공집합도 유리수 자체도 아니다
2) 임의의 x in A에 대해, y < x인 모든 유리수 y는 A의 원소이다.
3) A는 최댓값이 없다. 즉, 모든 x in A에 대해 x < y인 A의 원소 y가 있다.
이때, (A, A의 여집합)를 데데킨트 절단이라고 하고, 데데킨트 절단은 실수의 공리를 만족한다.
데데킨트 절단에서 A의 예시는 {x | x^2 < 2 or x < 0}이 있다. 이는 "루트 2 이하의 유리수"가 되고, 실수 루트 2를 의미하게 된다.
다른 방법으로, 코시 수열을 이용할 수 있다.
Cantor:
다음을 만족하는 무한 유리수열을 생각하자.
1) 유계이다. (상한과 하한이 있다)
2) 임의의 유리수 x에 대해, m > N이면 |a_(m+1) - a_m| < x인 자연수 N이 있다.
이 수열을 실수라고 하고, 추가적으로 다음을 생각하자.
a_n - b_n의 극한이 0이면 {a_n}과 {b_n}은 대충 같은 것(동치)이다.
참고로, 두 실수의 연산은 {a_n} + {b_n} = {a_n + b_n}처럼 항별로 계산하면 된다.
마지막으로, 루트 2가 무리수인 것을 보임으로써 글을 끝내겠다.
무리수는 "유리수가 아닌 실수"로 정의된다.
이 말은 즉슨, 루트 2가 실수임을 증명할 필요가 있다.
먼저, 공리적 방법에 따르면 집합 {x | x^2 < 2}에는 상계가 있을 것인데, 그 수를 제곱하면 2이므로 루트2는 실수다.
만약 루트2가 유리수려면 p / q = 루트2일 것인데 p^2 = 2q^2에서 p는 짝수이고, 2(p/2)^2 = q^2으로 q도 짝수이다. 그러면 (p/2) / (q/2) = 루트2이고, p는 2로 무한번 나눌 수 있어서 모순이 된다.
따라서, 루트2는 실수이고 유리수가 아니므로 무리수이다.
