이전 글에서 동치류로 정의한 정수의 연산이 잘 정의되고, 이는 자연수의 자연스러운 확장임을 Z-Prop 3, Z-Prop 4.에서 증명했다.
하지만 이것으로 만족하면 안 된다. 지금은 명확하게 구성이 되지 않아서 모르는 것 취급을 할 테지만, field of complex number C를 확장하여 정의한 division ring of quaternion H의 연산은 잘 정의되고, 이가 C의 자연스러운 확장이지만 C에서 성립하는 연산의 성질 중 몇 가지는 성립하지 않는다. 그래서 C는 field이나 H는 division ring인 것이다(이에 대한 설명은 나중에 유리수편에서 마저 진행할 것이다.).
마찬가지로 division ring of quaternion H를 확장하여 정의한 division algebra of octonion O도 마찬가지다. O의 연산은 잘 정의되고 실제로 H의 자연스러운 확장이지만 O에서 성립하는 연산의 성질 중 몇 가지는 성립되지 않는다. 그래서 H는 ring이지만 O는 algebra인 것이다.
지금은 이에 관해서 한 가지만 기억하면 된다. 확장하게 된다면 성질이 파괴될 우려가 있다.
그 우려를 불식시키기 위해서 적어도 정수 Z 안에서는 지금까지 증명했던 자연수의 성질들이 거의 모두 성립함을 보도록 하고, 나아가 이를 통하여 (Z, +, ×)이 commutative ring임을 보이도록 하자.
※Notation
이제 Z가 N의 자연스러운 확장임을 알았으므로, 정수편(정의)의 표기법을 사용하여 N과 JN을 의도적으로 혼동할 것이다.
이 말이 무슨 말이냐, 자연수 n에 관하여, N의 원소 n과 Z의 원소 J(n)=[n, 0]을 동일한 원소로 보겠다는 것이다.
우선 자연수편(덧셈)에서 보인 +의 associativity와 commutativity가 Z에서도 성립하는지를 보도록 하자.
Z-Prop 6. Binary operation over Z, + is associative.
이제는 그 수학적 귀납법을 안 써도 된다. 단지 동치류 상의 연산이 성립하는지만 보면 된다.
임의의 [a, b], [c, d], [e, f]∈Z에 대하여 다음이 성립한다.
([a, b]+[c, d])+[e, f]=[a+c, b+d]+[e, f]=[(a+c)+e, (b+d)+f]=[a+(c+e), b+(d+f)]=[a, b]+[c+e, d+f]=[a, b]+([c, d]+[e, f])
따라서 + over Z는 associative임은 증명이 된다. ■
Z-Prop 7. Binary operation over Z, + is commutative.
임의의 [a, b], [c, d]∈Z에 대하여 다음이 성립한다.
[a, b]+[c, d]=[a+c, b+d]=[c+a, d+b]=[c, d]+[a, b]
따라서 + over Z는 commutative이다. ■
여기까지의 증명을 통하여 (Z, +)가 commutative monoid임을 증명하였다. 이제 + 상의 역연산에 대해서 Z가 닫혀 있음을 증명하면 뺄셈을 정의해 버릴 수가 있고, 더 나아가 (Z, +)이 group, 그것도 abelian group임을 증명할 수 있다.
역연산에 대해서 닫혀 있다는 게 무엇이냐면, binary operation *과 *에 대한 identity e가 주어진 (S, *)에 대해서 임의의 x∈S에 대해 x*y=e=y*x인 y∈S가 존재한다는 뜻이다. 이를 *에 대한 x의 역원이라고 부른다. 즉, 역연산에 대해서 닫혀 있다는 것을 모든 원소는 자기 자신만의 역원을 가진다고 생각하면 된다.
흔히 덧셈이 주어진 set S에 대해서, x의 +에 대한 역원을 -x로 표기함을 알아주기 바란다.
group은 역연산에 닫혀 있는 monoid를, 그리고 abelian group이라는 것은 바로 group (G, *)에 주어진 binary operation *이 commutative하다는 것이다. 즉, group인 commutative monoid는 abelian group이라는 거지.
Z-Prop 8. (Z, +) is abelian group.
우선 Z-Prop 5.에 의해서 0이 identity of +임을 보였다.
이제 임의의 [a, b]∈Z에 대해서 [b, a]∈Z는 다음과 같은 식을 만족시킨다.
[a, b]+[b, a]=[a+b, b+a]=0(∵n+0=0+n이므로 (n, n)~(0, 0). [n, n]=[0,0]=0)
[b, a]+[a, b]=[b+a, a+b]=0. 따라서 -[a, b]=[b, a]로 이미 존재한다. 따라서 Z는 abelian group. ■
이제 Z 상에 주어진 덧셈에 대해서는 전부 증명이 끝났다! 이제 곱셈에 대해서만 비슷한 행동을 반복하면 된다.
잡설은 크게 필요 없다. 나아가자.
Z-Prop 9. Binary operation over Z, × is associative.
임의의 [a, b], [c, d], [e, f]∈Z에 대하여, 다음이 성립한다.
[a, b]×([c, d]×[e, f])=[a, b]×[ce, df]=[a(ce), b(df)]=[(ac)e, (bd)f]=[ac, bd]×[e, f]=([a, b]×[c, d])×[e, f] ■
Z-Prop 10. Binary operation over Z, × is commutative.
임의의 [a, b], [c, d]∈Z에 대하여, 다음이 성립한다.
[a, b]×[c, d]=[ac, bd]=[ca, db]=[c, a]×[d, b] ■
이제부터는 Z 상의 binary operation × 을 생략하여 표기하도록 하자. 사실 대부분의 대수적 구조(semigroup, monoid, group 등등)에서는 binary operation이 거의 모든 경우에서 성립하므로, binary operation의 종류를 명시할 필요가 없는 이상 생략하는 경우가 많다. 덧셈과 곱셈 두 가지의 binary operation이 주어져 있다면 관용적으로 곱셈을 생략하고.
이제 ring의 정의를 보도록 하자. 내가 독학했던 교재에서는 ring을 [ring with 1], rng을 ring이라고 불렀는데, 위키피디아 서술이나 많은 원서에서는 아래의 정의를 고수하고 있으니 내 정의를 뜯어고치도록 하자.
어떤 집합 R 상에 두 binary operation +, *이 존재하여 (R, +)이 abelian group이고 (R, *)이 monoid이며, +, *이 distribution law를 left와 right 모두 만족할 시 (R, +, *)을 ring이라고 한다. 또한, *이 commutative하다는 조건을 추가로 만족시키는 ring을 commutative ring이라고 한다.
Z-Prop 11. (Z, +, ×) is commutative ring.
나머지는 전부 보였으니, distribution law를 만족하는지만 보이면 될 것이다.
임의의 [a, b], [c, d], [e, f]∈Z에 대하여...
Left) [a, b]([c, d]+[e, f])=[a, b][c+e, d+f]=[a(c+e), b(d+f)]=[ac+ae, bd+bf]=[ac, bd]+[ae, bf]=[a, b][c, d]+[a, b][e, f]
Right) ([a, b]+[c, d])[e, f]=[a+c, b+d][e, f]=[(a+c)e, (b+d)f]=[ae+ce, bf+df]=[ae, bf]+[ce, df]=[a, b][e, f]+[c, d][e, f] ■
이로서 정수의 연산에 관하여까지 둘러보았다.
다음 글은 유리수... 로 넘어가지 않는다! 유리수로 넘어가기 이전에, 정수 내에서의 양수와 음수를 분별하고 기초적인 부등식의 성질들을 증명할 것이다.
그럼 그 글에서 보자.
