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질문 함수의 극한에서

ㅇㅇ

추천 1 비추천 0 댓글 13 조회수 447 작성일 2022-02-06 06:11:07 수정일 2022-02-06 08:24:51

https://arca.live/b/math/43917500

모든 양의실수 x에서 f'(x)>0, f(x)>0이고 어떤 실수 k에 대해

lim x->∞ f(x)f(x+k)=α(α>0)로 수렴하면

lim x->∞ f(x)=√α임?

댓글 [13] 글쓰기

Bremsstrahlung

2022-02-06 07:10:52 답글

ㅇ

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시스티나

2022-02-06 07:19:45 답글

아닐 듯

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AKANE

2022-02-06 10:30:51 답글

그럴듯

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Enigma

2022-02-06 11:06:16 답글

맞는듯?

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시스티나

2022-02-06 11:15:50 답글

k = 1이라고 하고 f(x) = sqrt(a) + sin(2π(x-floor(x)) if floor(x) is odd integer, a/[sqrt(a) + sin(2π(x-floor(x))]라고 하면 lim f(x) 발산함

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ㅇㅇ

2022-02-06 11:19:06 답글

*수정됨

f'(x)가 모든 양의실수x에서양수가 아닌데?

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시스티나

2022-02-06 11:31:28 답글

그러네

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ㅇㅇ

2022-02-06 11:24:04 답글

*수정됨

방금 증명보고왔는데 f(x)f(x+k)=g(x)라고 놓으면 g'(x)>0이라서 g가 위로 유계 단조증가함수고 limf(x)f(x+k)
=lim(f(x))²=α
=(limf(x))²이고
f(x)>0에서 limf(x)=√α라고 하네 이거 맞음?

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Bremsstrahlung

2022-02-06 11:33:11 답글

이거 증명할 때 핵심은 f가 수렴한다는 것을 증명하는 부분임. (님이 지정한 g는 문제에서 이미 수렴한다고 줬으니까 별로 안 중요함) 방법이야 여러가지 있겠지만 f(x)가 수렴한다는것을 단조수렴정리로 보이면 그 다음부터는 아무렇게나 하셔도 적당히 증명 될거임. 반대로 말해서 f의 극한값이 존재한다는 것을 먼저 증명하지 않은 풀이는 전부 틀린 소리일 가능성이 있음.

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다경

2022-02-07 00:54:52 답글

f가 수렴하면 limf(x)=limf(x+k)이니까 성립

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수거프리

2022-02-07 01:03:27 답글

맞는듯? F(x)가 단조증가하는 양수함수인데 수렴한다는 이야기는 그 수렴값이 존재한다는 이야기잖아
수렴값 두 개 곱했는데 a 면 수렴하는 위치는 sqrt(a)겠지

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수거프리

2022-02-07 01:05:01 답글

말을 잘못했네 f(x)가 단조증가하는 양수함수인데 수렴을 안 하면 무한으로 발산하는 거 말고 다른 경우가 있나?
발산 안 하면 특정값으로 수렴이고 그러면 저말이 맞지

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수거프리

2022-02-07 01:06:37 답글

*수정됨

단조증가하는 양수함수면 진동이 불가능하니까 그 극한이 무한으로 발산하거나 특정 값으로 수렴하거나 둘 중에 하나인데  f(x) 양의 무한으로 발산한다고 가정할 때 f(x)f(x+k) 가 수렴할 수가 있나? 없을 거 같아

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