적당히 계산기 두드리니까 앵간하면 p^4+14의 일의 자리가 5가 나오길래 아래와 같이 경우를 나누어봤음
경우 1) p=2
2를 제외한 소수는 홀수이다. 2의 경우에는 짝수+짝수 이므로 2보다 큰 짝수가 나오므로 합성수임
경우2) p≠2
나머지 경우의 소수는 홀수이므로 일의 자리가 홀수이다.
경우2-1)p=5
일의자리가 5인 소수는 5밖에 없다.
따라서 이 경우는 5의 4제곱만 살펴보면 충분함. 639가 나와서 이 경우는 합성수임
경우2-2)p≠2, p≠5
일의자리가 1, 3, 7, 9인 경우, 각 수의 네제곱의 일의자리는 언제나 1이다. (일의자리만 네제곱. 그 정당성은 mod 10 이용) 따라서 여기에 14를 더하면 일의 자리가 5가 나오는 두 자리 이상의 수 즉 5의배수.
따라서 소수p가 2,5가 아닌 경우엔 항상 p^4+14는 5의 배수가 됨
이 관찰을 합동식으로 정리하면 뭔가 수식으로 간결하게 보일 수 있을듯
p⁴의 끝자리를 k라고 하면
k=1일때 끝자리가 5라서 소수 아님
k가 짝수일때는 k가 나올수 없거나 끝자리가 짝수라서 소수 아님
k=3이 될수 없음
k=5일때 p⁴의 뒤에서 두번째 자리는 2여야 함, 25+14=39이기 때문에 3의 배수임
k=7이 될수 없음
k=9가 될수 없음
따라서 임의의 소수 p에 대해 p⁴+14는 소수가 아님