입실론 델타 증명 질문좀요

수학 채널

알림 알림 중 알림 취소

구독자 2299명 알림수신 53명 @시스티나

각종 수학 이야기를 해는 채널

입실론 델타 증명 질문좀요

ㅇㅇ (121.160)

추천 0 비추천 0 댓글 3 조회수 296 작성일 2022-04-01 16:59:13

https://arca.live/b/math/47572644

x=c제외 c 근방 구역에서 에서 F<G이고 x->c일 때, lim F(x)=L, lim G(x)=M이면, L=<M임을 증명하는 건데

귀류법으로 해서 마지막으로 나온 부등식이 C근방의 구역이란 것을 어떻게 증명할 수 있을까요?

댓글 [3] 글쓰기

ㅇㅇ

2022-04-02 00:46:47 답글

귀류법에서 M<L을 가정했으므로
G(x)-F(x)<(우변)<0

그런데 c 근방에서 0<G(x)-F(x)이므로 모순 <<

아마 <<부분에서 c 근방인지 아닌지 어떻게 알 수 있지?를 의심하는거 같은데,

중간에 델타를 설정하는 부분에서, 다음과 같이 한 줄 써주는 걸로 충분할 것 같음

let dt = min(d, d1, d2)
d는 맨 위에서 x가 c 근방에 있다고 가정할 때 사용한 그 d이고, dt는 그냥 d 문자가 겹쳐서 아무거나 갖다 쓴거임

그리고 기존에 있던 d, d1, d2를 모두 dt로 대체하면 됨

이러면 0<|x-c|<dt이면 f, g에 대한 엡델도, 문제에서 주어진 근방 조건도 모두 만족하면서 나머지 논리를 모두 그대로 쓸 수 있음

+) 엡델에서 엡실론 반례를 생각할 때에는 e1=e2=(L-M)/2 식으로 등호로 처리하기보다, 0<e1+e2<L-M 식으로 부등호 범위의 모든 수로 처리하는게 개인적인 경험으로는 더 괜찮았던거 같음

펼쳐보기▼

ㅇㅇ (121.160)

2022-04-02 07:15:44 삭제 수정 답글

댓글로 얘시들어준 기호를 기준으로 얘기하자면, e1+e2을 아예 L-M보다 작은 모든 양수로 잡을 때, dt가 존재하는데 그 dt가 min{d,d1,d2}로 잡아두기만 하면 된다는건가요? 임의의 양수 e1+e2<L-M을 잡았을 때, 그에 대응되는 dt가 존재한다는게 주어진 어느 가정을 통해서 도출될 수 있는 것인지 궁금합니다.

펼쳐보기▼

ㅇㅇ

2022-04-02 09:12:22 답글

*수정됨

1. 임의의 양수 e1, e2에 대해 d1, d2는 언제나 존재함

2. c 근방에서 f<g라 함은, x ∈ (c-d, c+d)\{c} 에서 항상 f(x)<g(x)가 되도록 하는 양수 d가 적어도 하나 존재함을 의미함

3. 따라서 d는 e1, e2와 관계없이 항상 존재하고, d1, d2는 각각 e1, e2에 의존하여 항상 존재하므로, 항상 존재하는 세 수의 최솟값을 찾을 수 있고 이를 dt라 하기로 함.

4. 0<j<k<l의 대소관계를 갖는 세 수 j, k, l에 대해, 다음의 포함관계가 성립함

(c-j, c+j) ⊂ (c-k, c+k) ⊂ (c-l, c+l)
위 세 구간을 각각 집합 J, K, L이라 하면, L에서 성립하는 성질은 J, K에서도 반드시 성립하고 K에서 성립하는 성질은 J에서도 반드시 성립함

5. 따라서 c의 dt근방 (c-dt, c+dt)에서는 d1근방, d2근방, d근방에서 성립하는 성질들이 모두 성립함.

그런데 d근방에서는 f<g여야 하고, L-M>0을 가정하면 d1근방에서는 f>g여야 함

dt근방에서는 d근방의 성질과 d1근방의 성질이 모두 성립해야 하므로 f<g이면서 f>g여야 하는데 이는 모순임.

펼쳐보기▼

댓글 작성