벡터공간 직선 질문입니다.

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질문 벡터공간 직선 질문입니다.

ㅇㅇ (121.160)

추천 0 비추천 0 댓글 13 조회수 368 작성일 2022-04-11 11:20:02 수정일 2023-11-21 10:52:40

https://arca.live/b/math/48243677

T_A : R^n->R^n, x=x_0 + vt (t는 임의의 스칼라)

"변환함수가 R^n에서의 가역인 행렬 연산자, A에 의한 곱에서 직선의 상이 직선임을 보여라."

가 문제인데, R^n에서의 가역인 행렬 연산자라는게 무얼 의미하는지 모르겠어요.

R^n은 행벡터의 집합이라 주어진 함수가 원소들의 역벡터를 구하는 것도 아닌 것 같은데, 어떤 의미인가요?

댓글 [13] 글쓰기

Enigma

2022-04-11 11:53:07 답글

*수정됨

T_A 를 n*n 행렬로 표현할 수 있을테니 이를 표현하는 행렬이 invertible인걸 의미합니다

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ㅇㅇ (121.160)

2022-04-11 12:14:06 삭제 수정 답글

*수정됨

A가 n*n이면 임의의 열벡터 집합인 R^n과 임의의 x in R^n에 대해, T_A(x) = Ax이면, n*1인 벡터 직선의 형태가 나오고 R^n이 행벡터 집합이면 T_A(x)= xA이면 1*n의 직선으로 보이는데, 왜 가역의 조건이 들어가있나요?

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Enigma

2022-04-11 12:33:29 답글

가역의 조건이 없으면 T_A 변환이 one-to-one 임을 보장해주지 못해서, 직선이 안나오는 경우가 생깁니다.
극단적으로 모든 벡터를 0벡터로 보내는 변환도 일단은 선형변환이거든요

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ㅇㅇ (121.160)

2022-04-11 12:39:09 삭제 수정 답글

저 문제는 그럼 A가 invertible하니 x=(A^-1)b인 해 x가 R^n에 존재하고, R^n이 열벡터 집합이니 벡터 직선의 형태로 띈다고 하면 문제가 요구하는걸 충족한 걸까요?

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Enigma

2022-04-11 13:09:34 답글

x = x_0 + v*t 라고 주어졌으니 A(x)를 똑같이 y = y_0 + w*t 꼴로 만들면 될것 같네요

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ㅇㅇ (121.160)

2022-04-12 13:25:42 삭제 수정 답글

그렇다면 함수의 표준벡터랑 열벡터의 원소를 상정해서 보이라는 말인가요? 문제의 접근법 자체를 잘 모르겠습니다.

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Enigma

2022-04-12 13:32:37 답글

*수정됨

R^n 공간 상에서 직선의 방정식은 (기준벡터 + 방향벡터 * 스칼라) 의 꼴을 만족하면 됩니다.
x = x_0 + v * c 에서 x_0가 기준벡터, v가 방향벡터, c는 스칼라 의 꼴이니 x는 직선이라는 식입니다.
여기서 x_0, v 는 R^n 상에서의 열벡터, 즉 nx1 행렬이라고 볼 수 있습니다.
T_A 가 선형변환이니 이에 대응 되는 행렬을 A라고 하겠습니다.
A(x) = A( x_0 + v * c ) = A(x_0) + A(v)*c 의 꼴로 정리할 수 있습니다.
A(x_0) 와 A(v) 또한 R^n 상의 열벡터, nx1 행렬이고
방향벡터 v는 0 벡터이면 안되니, A(v) 또한 0벡터는 될 수 없습니다 (A가 가역이기 때문)
즉 A(x) 또한 R^n 공간 상에서 직선의 꼴을 만족합니다.
이떄 A(x) 의 기준벡터는 A(x_0), 방향벡터는 A(v)입니다.
그래서 A(직선) = 직선 임을 볼 수 있습니다

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ㅇㅇ (121.160)

2022-04-12 13:49:46 삭제 수정 답글

T_A(x) = T_A(x0+vt)=T_A(x0)+tT_A(v)=Ax0+tAv이고, Ax0+tAv가 직선의 꼴이 되니 A에 의한 곱이 직선의 꼴이 나타난다는 걸 보여주는 거겠네요? 그런데 v가 0벡터라 하더라도 x0이 0이 아니면, 원점을 통과하는 직선의 형태가 기하학적으로 나오지 않나요?

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Enigma

2022-04-12 13:51:22 답글

아니오. x_0 는 고정된 벡터입니다. 이미 직선을 상정했을떄 x_0 와 v는 고정되어 있고 스칼라값만 움직인다고 생각하셔야 합니다.
그래서 A(v) = 0 이 가능하다면 A(직선) = 한점 인 경우가 나올 수 있습니다

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Enigma

2022-04-12 13:52:55 답글

우리가 좌표평면 R^2에서 직선을 그릴때 기울기와 지나는 한점만 안다면 직선을 그릴 수 있다고 배우는데,
여기서 기울기가 방향벡터 v , 지나는 한 점이 x_0라고 생각하시면 돼요

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ㅇㅇ (121.160)

2022-04-12 13:58:32 삭제 수정 답글

x= (x1, y1, z1)인 고정된 벡터일 때, (x-0) = x = (x1-0, y1-0, z1-0)인 원점에서  점 x를 통과하는 벡터로 볼 수 있을 것 같은데,  이게 기하학적으로 선의 형태가 아니라 점인건가요? 개념을 햇깔리는건가..

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Enigma

2022-04-12 14:00:24 답글

*수정됨

네 그거 점입니다. x - 0 * c 에서 스칼라 c를 아무리 바꿔도 x=(x1,y1,z1) 한 점만이 결과값으로 나와요

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ㅇㅇ (121.160)

2022-04-12 15:50:52 삭제 수정 답글

번거로우실텐데 질문 받아주셔서 감사합니다 ㅜㅠㅠ

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