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질문 벡터 기저 관련 질문

함장냥이

추천 0 비추천 0 댓글 2 조회수 308 작성일 2022-04-15 10:05:51 수정일 2022-04-19 03:47:28

https://arca.live/b/math/48512132

이런식으로 행공간에 대한 기저는 행렬 R의 것을 적는데, 열공간에 대한 기저는 원래 행렬 A의 것을 적네
1. 차라리 원래 행렬 A의 것을 적는 거면 이해하겠는데, 왜 변형된 것을 적는 거지?
2. 그나마 생각을 해보자면 행공간의 경우는 기저에서 원래 행렬을 복원할 수 있지만, 열공간의 경우는 복원이 불가능해서 인가?

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Enigma

2022-04-15 11:09:51 답글

ㅖ

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Bremsstrahlung

2022-04-15 11:15:16 답글

일단 전체적인 답변을 하기 이전에 벡터공간의 기저를 제시하는 방법은 한 가지가 아니기 때문에 조금 다른 형식의 답이 나왔다고 하더라도 그것 역시 정답일 수 있다는 점을 먼저 숙지해 주시고,

1번 슬라이드 기준으로 설명하자면, 기약행사다리꼴로 변형한 것이 행이 3개 나온걸 보면 행공간의 차원이 3이라는 것을 의미함. 
그리고 행사다리꼴 만들면서 어차피 행들 사이에 연산을 한 것이기 때문에 어차피 새로생긴 행들이 원래 행들의 선형결합으로 어차피 사용된 아이들임.
그래서 [1010-1],[01203],[00014]라고 해도 어차피 어떤 방식으로 원래 행들로 만들 수 있는 아이들이였던거라서 어차피 기약행 구한 김에 걔네들로 작성해 주었다고 생각해도 될 듯 함.

2번 슬라이드 기준으로 설명하자면, 저기 기약행 사다리에서 3번째 열 세로로[1,2,0,0]된 것이 r3 = r1+2r2인 것을 의미하는 부분임. 
그러니까 r3(3번열) 은 (1번열)과(2번열)의 선형결합으로 쓸 수 있으니까 기저 쓸 때는 (1번열)과 (2번열)만 있어도 충분하다는 의미이고 5번열에서도 같은 논리로 5번열은 빠져도 된다는 의미임.
그래서 r3과 r5는 빼고 1,2,4번 열만으로도 모든 열들이 표현 가능하니까 기저를 저렇게 쓴 것이라고 생각하면 될 것 같습니다.

왜 방법이 다른가에 대한 이야기를 조금만 하자면, 기본적으로는 님이 느끼신 느낌이 크게 틀리지 않았고
님이 행사다리꼴 만들면서 행연산을 했기 때문에 행에 관한 성질은 깨지지 않았고 열에 관한 성질은 깨졌다고 생각하셔도 됨.

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