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ㅇㅇ (118.220)

추천 0 비추천 0 댓글 5 조회수 303 작성일 2022-04-18 06:43:40 수정일 2022-04-18 06:44:09

https://arca.live/b/math/48689392

세문제 증명이나 반례 들어야 하는데

뭘 알아야 풀던 말던 하는데 수학이랑 관련 없는 쪽에서 와서 문제 이해를 못하니 손도 못대겠어요

1번은 임의의 x에 대해 y가 x보다 큰 y가 존재하면

이라는거 맞나요?, 그리고 만약 supQ가 존재하지 않는건 생각하지 않는건가요?

2번은 x_n이 뭐를 뜻하는지를 모르겠어요

3번은 증명을 어떻게 시작해야할지 감도 안와요

참 거짓이랑 증명 시작하는 방법이라도 도와주ㅔ요ㅠ

댓글 [5] 글쓰기

ㅇㅇ

2022-04-18 08:28:41 답글

*수정됨

1번) "임의의 x에 대해 y가 x보다 큰 y가 존재하면 이라는거 맞나요?"
ㄴㄴ "P의 임의의 원소 x에 대해, x보다 크거나 같은 y가 Q에 존재하면"이라는거임
그리고 supQ에 관한건 너 말이 맞음. 저 집합이 유계가 아니라면 sup이 실수값으로 나오지 않을 수 있으니 저런 식으로 부등식을 쓰기 껄끄러움.
(물론 책에 따라서 유계가 아닐때도 정의하는 경우도 있음)
심지어 집합 P가 실수집합의 부분집합이란 사실도 얘기해주지 않았으니 sup 자체 또한 얘기하기 껄끄럽긴 한데 이 부분은 뭐.. 눈치껏 해결 가능한 부분이긴 함

너가 문제를 다 안썼거나, 수학 쪽이 아닌 교수님이 낸 문제거나, 수학과 교수님이라도 그냥 대충 냈다거나 뭐 그런거 같은데
암튼 sup은 너가 헷갈릴만하긴 함. 나라면, 너가 유계가 아닐 때의 sup의 정의를 배우지 않았다면, 그냥 대충 유계라고 가정하고 풀듯

2번) 앞에 x_n ∈P가 있잖아. 이건 수열 x_n이 집합 P의 원소로 이루어진 수열이라는 의미임. '모든 n에 대하여 x_n ∈P'라고 써놓지 않은 점에서 디테일이 떨어진다고 할 수 있지만, 일반적으로 눈치껏 그렇게 받아들임. 여기서 헷갈린거 맞지?
여기서 x_n은, supP로 수렴하는 집합 P의 원소로 이루어진 수열이네.

3번) 문제 조건을 바꿔보면, 어떠한 1/n을 가져오건 간에(즉, 임의의 자연수 n에 대해) 0 이상 1/n 이하의 수 x가 존재한다는 거임.
infP=0과 동치명제 알지? 어떠한 양수 e를 가져오건간에 0이상 0+e미만의 실수인 P의 원소가 존재한다는거.
이 둘을 보면 아르키메데스의 원리가 생각나지 않음? 어떠한 양수 e를 가져오건간에 e보다 작은 1/n을 찾을 수 있고(정확히는 그렇게 되는 자연수 n을 찾을 수 있고), 1/n보다 작거나 같은 P의 원소를 찾을 수 있으니 참이겠네 뭐

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ㅇㅇ (118.220)

2022-04-18 09:19:37 삭제 수정 답글

감사합니다 덕분에 1,3번은 했어요!
2번은 이게 머리로는 알겠는데 이걸 종이에 쓰는게 쉽지 않네요ㅜㅜ 부탁드립니다

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ㅇㅇ

2022-04-18 09:29:32 답글

*수정됨

답만 풀어주는 대신, 거기까지 떠올릴 수 있는 아이디어를 어떻게 생각해느냐를 써보겠음.

이것도 sup P=a의 동치명제의 응용임.
어떠한 양수 e를 가져오건간에 a-e보다 크고 a 이하인 P의 원소가 존재하잖음?
그런 e마다 P의 원소가 존재하는 거잖아?
그러면 e를 다르게 잡을때마다 P의 원소를 다르게 하나씩 하나씩 잡을 수 있네.
그 하나씩 하나씩 잡는것을 잘 수열로 택하면 되겠네

이런 생각까지 도달했다면, 나머지는 자주 쓰이는 테크닉임. (앞으로 수열을 많이 활용하니까 익혀두는게 좋음)
'수열'은 말하자면 x_1, x_2, x_3같이 뭔가 셀 수 있는 나열이잖아?
근데 우리는 '임의의 e>0'같이, e가 달라진다 한 들 규칙도 없고 하나, 둘 카운팅 하기도 힘들잖아?
그래서야 'e 마다의 P의 원소를 수열로서 택하는'것이 제대로 되기는 힘들겠지

그러니 우리는 이런 상황을 셀 수 있는 상황으로 만들어 주면 됨. 우리는 사실 e가 작아질수록 좋다는걸 알잖아?

e가 큰 수라면 a-e와 a 사이가 무지 크니까 충분히 P의 원소가 있으리라 짐작되는데, 사실 '임의의 양수 e'니까 엄청 작은 e, 그러니까 a-e와 a 사이가 무지 짧은 엄청난 경우에도 그 짧은 공간에 P의 원소가 있어야 하잖아? 즉, e는 작을수록 유효함. (이는 모든 엡실론 논법(극한과 관련된 해석학적 정의들)에 유사하게 적용함)

그래서 '임의의 양수 e' 대신 '임의의 자연수 n에 대해 1/n'을 생각해보면 됨.

'셀 수 있는 상황'이 되었으니 n이 1, 2, 3 커짐에 따라 수열의 첫 째항, 둘 째항, 셋 째항을 구성할 수 있고
1/n은 0으로 다가가되, 0은 아닌 수열이니까 우리가 찾는 조건(임의의 '양수(0아님)'면서도 작을수록 좋은 것)에 딱 부합하지

그럼 어떻게 되냐?
임의의 자연수 n 마다, a-(1/n)과 a 사이의 P의 원소는 존재하니까 그것을 x_n이라 둬봐. (왜 존재하냐면 supP=a니까)
n이 1, 2, 3, 4 커질때마다, P의 원소도 점점 a에 가까워지겠지?
(이게 어렵다면, 수직선으로 저 상황을 그려보고 n을 점점 크게 해봐)
그러면 직관적으로 x_n의 극한이 a일게 상상이 되지? 그러면 이 직관을 수학적 표현으로 바꾸면 끝임.

여기까지 썼으면 이제 혼자 할 수 있음? 아이디어는 대충 다 쓴 것 같은데, 저렇게 만든 수열이 a로 수렴한다는 e-N논법 부분은 뭐 3번과 유사하게 하면 괜찮을 것 같음. (물론 대충 생각한거라 자세한건 직접 써보면서 알아서 해보셈. 이게 힘들면 정확히 어느 부분이 힘든지도 포함해서 써주고)

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ㅇㅇ (118.220)

2022-04-18 10:16:57 삭제 수정 답글

감사합니다! 글로 표현하는게 참 어렵네요 덕분에 잘 끝냈습니다

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ㅇㅇ

2022-04-18 10:18:19 답글

계속해서 직접 쓰다보면 직관적 생각을 수학적 표현으로 바꾸는것도 점차 익숙해질거임
굳

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