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덧셈 교환법칙

ㅇㅇ (211.63)

추천 3 비추천 1 댓글 13 조회수 374 작성일 2022-07-19 14:18:52

https://arca.live/b/math/54720351

a_1 + a_2 + ... +a_n 에서 덧셈의 교환법칙으로 만들 수 있는 순열의 경우의 수는 n! 인 건 어떻게 증명함

댓글 [13] 글쓰기

Enigma

2022-07-19 14:23:42 답글

첫번째 자리에 올 수 있는 숫자 n개
두번째 자리에 올 수 있는 숫자 n-1개
...
마지막 자리에 올 수 있는 숫자 1개
다 곱하면 n!

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ㅇㅇ (211.63)

2022-07-19 14:29:01 삭제 수정 답글

*수정됨

덧셈 연산이 취해져있는 멀리 떨어져 있는 두 항을 그냥 무지성으로 교환시켜도 등식이 성립하는 이유가 궁금해서 질문한거임 어떻게든 결합법칙과 교환법칙을 써서 그 배열상태를 만들 수야 있겠지만 이 어떻게든이 언제나 성립한다는 증명이 있을까 궁금함

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Enigma

2022-07-19 14:34:57 답글

*수정됨

(1 + ... + n-1) + n = n + (1+ .... + n-1) 하는 식으로 적절하게 항을 묶어서 정리하면
원하는 항을 원하는 위치에다 꽂아 넣을 수 있음

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ㅇㅇ (211.63)

2022-07-19 14:46:43 삭제 수정 답글

*수정됨

n개의 항들을 적절하게 묶어서 교환시키는 노가다를 하다보면 배열의 모든 경우의 수를 만들어 낼 수 있다라는 걸 증명할 수 있음? 뭐 3개 4개 같은 경우엔 직접 결합하고 교환시켜보니까 되긴 되던데 모든 자연수에 대해서 되는지는 증명이 필요한거 아님?

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Enigma

2022-07-19 14:50:48 답글

무한개의 항이 있는게 아닌한 유한개의 덧셈은 
결합법칙에 의해 최대 3개 항으로 구성된 식으로 압축할 수 있음.
그러면 2개 3개인 경우에서만 증명한다면, 어떤 위치에 있는 수라도 원하는 위치에 꽂아넣을 수 있다는게 증명됨.
이거의 연장선으로 인접하지 않은 두 항을 교환하는것도 크게 어렵지 않음

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ㅇㅇ (211.63)

2022-07-19 14:59:26 삭제 수정 답글

*수정됨

오 그러네 항이 3,4,5개일 때만 증명하면 다 해결되네

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ㅇㅇ (14.34)

2022-07-19 18:33:44 삭제 수정 답글

원하는 배열을 결정
→배열 첫 번째 숫자를 기준으로 3개 묶음으로 나눔
→2번째 3번째묶음 교환
→두 번째 숫자 기준으로 3묶음 나누고 23번째 교환
→세 번째 숫자 기준으로...

이러면 되는 거 아님?

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ㅇㅇ (14.34)

2022-07-19 18:39:17 삭제 수정 답글

예컨대 14+15+92+65+35 오름차순이면

(0+)14+(15+92+65+35)
(15+92+65+35)+14
15+(92+65+35+14)
(92+65+35+14)+15
(92+65)+35+(14+15)
(92+65)+(14+15)+35
92+65+(14+15+35)
92+(14+15+35)+65
92+(14+15+35+65)
(14+15+35+65)+92

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시스티나

2022-07-19 19:54:04 답글

귀납법에 의해 유한번 교환해도 되니까?

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ㅇㅇ (154.27)

2022-07-20 03:00:05 삭제 수정 답글

Bubble sort 를 이용해도 됨. 임의의 순열에 대해서
순열 제일 앞에 올 항을 한 칸씩 이동시켜서 제일 앞에 오게 하고
순열 두 번째에 올 항을 역시 한 칸씩 이동시켜서 두 번째 자리에 오게 하고
...
의 절차를 진행하면 모든 항을 순열의 순서 위치에 오게 할 수 있음.

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ㅇㅇ (211.245)

2022-07-20 06:46:36 삭제 수정 답글

임의의 a_n 과 a_m 을 교환할 수 있음을 보이면 됩니다.

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kusakusa

2022-07-20 11:27:10 답글

nkm을 mkn으로 바꾸고 싶을 때
nkm-knm-mnk-mkn순으로 교환하면 되네

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ㅇㅇ (14.43)

2022-07-25 08:23:55 삭제 수정 답글

n⇔n+1, n+1⇔n+2, ... m-1⇔m 여기까지 n을 m 자리로 & m-2⇔m-1, m-3⇔m-2, ... n⇔n+1 다시 m을 n자리로. 나머지 원소는 자리 동일

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