일단 내 개인적인 생각으로는 저 논문이 라디안 단위와 관련된 여러 정의들을 명확히 하는 것보다, 교수학습상황에 발생할 수 있는 개념지도 및 라디안을 무차원량이라 하는 여러 주장에 대한 반박 쪽에 더 초점이 맞춰있다보니, 일반적인 입장에서야 자꾸 결과가 완성되었는데 과정을 꺼내는게 부자연스럽게 보일수있는 것 같음. 

여타 다른 논문이야 초반에 용어에 대한 정의 등부터 시작하여 잘 쌓아온 결과를 토대로 주요 논지를 이어나가는 반면, 아무래도 수학보단 교육학에 더 치중된 논문이다보니 계속 반복적인 이야기가 나온다고 생각됨. (그런 의미에서는 문과식 논문이라는 점에 동의함)

그러니까 학습 과정 및 각에 대한 무차원량 주장 과정 중의, 단위 불일치상황에서 오는 혼란 및 주장에 대한 해설의 형태로 진행되다보니 과정과 결과를 전부 다 알고있는 전지자의 입장에서는 부자연스럽게 느껴진것이라고 생각됨.
보는 우리야 l=rθ의 단위 불일치문제, sinx의 정의 문제 등이 해결 되었으니 이후에 무엇이 문제가 되겠느냐 싶지만, 저자는 이것이 주장하고 싶은 점이 아니라 이로부터 생기는 오해 및 주장들에 더 주안점을 둔 것 같았음.

예를 들면 공식 완성 이후에도 1rad : r m = θrad : l m 라는 비례식(r을 단위부채꼴의 호의 길이라 보는 입장)을 계속 사용하여 설명을 이용하는 것 또한, 언급되었던 '생략된 1rad'을 강조하기 위함이라고만 나는 받아들였음.
이런 비례관계로 볼 경우 그러한 '단위의 일치'가 더 자명하게 보이므로, 학생 뿐 아니라 교수자 본인에게도 있을 수 있는 혼란의 여지를 잠재우기 위해 계속 반복적으로 얘기를 꺼내는 듯 함.

유사한 맥락으로 'π없이 반지름과 호의 관계를 다룬다'는 것 또한 그저 위의 비례 관계만으로 충분, 즉 전체 원과 부채꼴의 비례관계가 아닌 단위부채꼴과 부채꼴의 비례관계로 충분하다는 것을 강조하고자 한 표현이라고 받아들였음. (π가 없어야만 한다라기보단, π가 굳이 없어도 도입할 수 있다라는 쪽이 더 저자의 주장에 맞는듯?)

사인함수의 극한에서도, 말한 것처럼 그냥 수식 자체에 불과하지만 이 또한 학생들의 입장에서 서술한 것으로 보여짐. 위의 x는 각도, 아래 x는 길이라고 (억지로 단위를 끼워맞춰) 해석한 것 또한 학생들의 생각(혹은 라디안이 단위가 필요없는 무차원량이라 주장하는 입장)에서
"sinx/x에서 분자의 sinx의 x에는 각이 들어가야 하는데... 그러면 분모의 x도 각일텐데.. 그런데 분자 sinx 자체는 실수값이네? 즉 분모는 rad인데 분자는 실수값이네?" 
라는 상황에 대한 해설의 입장을 취하기 때문이라고 생각했음. (소제목 또한 ~라는 주장에 대한 해설이니)

이러한 오해들은 이전 단계(l=rθ 등)의 근본적인 부분의 오해서부터 비롯되었기 때문에 그 단계(위의 비례식)가 어떻게 나왔는지부터 반복적으로 설명해주는 입장을 취했다고 생각했음. 예를 들면 교수-학습자 입장에서는 교수자가 이러한 정의되는 맥락을 알아야 "sinx/x에 단위가 불일치해요!"라는 생각 및 주장에 대해 간접반박 대신 직접적인 반박을 할 수 있기 때문인듯.

그렇다보니 다 아는 입장에서 볼때는 '굳이 그렇게 해야하나'싶은 상황이 자주 발생하는 것이 아닌가.. 조심스레 생각해봄.
저 논문을 나는 위와 같은 입장에서 읽어서 이렇게 쓴 것인데, 혹시라도 내가 너의 의도를 잘못 이해한 게 있다면 알려주셈.
그게 아니라면 서로의 단순한 의견차이기 때문에 내가 더 이상 이 쪽으로 얘기를 하는게 너에게 단순히 실례밖에 안 될 것 같음.



아 그리고 이건 질문임. 나는 아래 글을 쓴 사람인데, 글을 쓸 때 논문의 저자의 입장에 따라서 무차원량에 관한 얘기를 썼었음.
차원에 관한 논의는, 나는 깊게 공부하지 않아서 대략적으로만 알고 있는 상황인데 혹시 아래 얘기중에 바로잡아야 할 것이 있을까 하여 도움을 청하고자함.

가장 먼저 너가 쓴 본문의 0번의 전체적인 내용에 동의하는 입장에서 출발함. (단위가 없는 것과 다를 바 없다)
일단 내가 이전에 알던 것은 무차원량은 그 단위가 굳이 필요 없거나(어떠한 '비(比)'와 같이 대체 표현이 존재하는 등), 심지어 그 단위를 생략하더라도 논리 전개에는 아무 문제가 없는 것으로 알고 있음.

그렇기 때문에 'rad은 단위가 없는 것과 다를 바 없지만 단위를 생략하면 곤란한 상황이 존재한다(토크, 각속도, 각진동수 등). 그렇기 때문에 각은 무차원량이라고 보기 힘들다.'고 생각했었음. 
(그렇기 때문에 '중학교 때 º단위를 안 써서 감점된 기억'따위의 얘기를 본문에 꺼내면서, º와의 대비로 rad은 어떤지에 대한 얘기를 꺼냈기 때문에... 틀린 말이라면 글을 수정해야 할 듯)

이런 부분이야 나 자체가 일단 공부가 더 필요하니 '왜 틀렸다고 생각하는지'를 구구절절 다 알려달라하면 너무 실례일 것 같고 이러한 주장에는 어떻게 생각하는지 간단한 의견 정도가 궁금함. (간단한 의견이니만큼 따로 부가 설명 안 해줘도 됨. 결국 내가 찾아봐야 할 문제니까)


아무튼 끝으로, 여기가 인터넷 익명의 공간이다보니 글로 표현하기에는 나의 필력부족으로 다소 무례해보일 수 있는 점은 미리 사과를 올리면서 조심스레 의견을 물어봄. 추가적인 질문거리가 떠오르지 않는 이상 답글은 안 달 것이기에 편히 답해주셈. 그런 의미에서 답변에 미리 감사드림.

저 논문 방금 읽었는데 헛소리가 너무 많음.
지적할거 너무많은데, 단순히 지적하려고 저 논문을 다시 훝어보는건 시간이 아깝고.

그냥 후반부에 나오는 내용 중에 인상깊었던거 하나 언급해보자면...
"시간 t를 세슘원자의 진동횟수/9192631700로 정의하면 차원이 제거된다"는 소리를 하는데,
그러면 세슘원자가 1번 진동하는 것보다 작은 시간은 값으로 나타낼 수 없음. 
즉, 애초에 저건 시간의 정의라고 할 수가 없음.
심지어 저렇게 얘기할 때 차원이 제거된 것도 아님.
그냥 second의 단위에서 취할 수 있는 값만 1/9192631700의 배수로 제한한 것 뿐.

그리고 각과 각의 크기를 구분 안하고 쓰는 것도 본 듯? 초반부에 "1rad는 호의 길이 1을 반지름 1로 나눈 것" 이런 말 쓴거 보면, 반지름하고 반지름의 길이도 구분 안하는듯.(모르고 있던건지도?) 

이런식으로 디테일한 부분만 지적해도 진짜 많은데, 
사실 근본적인 문제는, 그냥 애초에 논의가 출발부터 잘못되었다는 부분임.
수학의 증명으로 치면 저자가 뭘 증명해야 하는지도 착각했는데, 심지어 저자가 증명하려고 한 것 자체도 gap 투성이인 상황으로 볼 수 있음. 총체적 난국인거지.

일단 근본적인 부분을 지적하려면, 우선 단위를 왜 쓰는지부터 얘기해야 할 듯 함. 
단위라는게 왜 있지?
서로 다른 scale을 사용하는 경우에 오해하지 않도록 명확하게 나타내기 위해 이를 나타내는 표시로서 단위가 존재하는 거임.
반대로 말해서 오해가 없을만한 상황, 즉 하나로 통일된 상황에서 단위라는건 불필요함.
그런 대표적 상황이 바로 우리가 공부하는 순수수학.

저 논문을 쓴 사람은 "길이를 나타낼 땐 왜 단위를 나타내지 않고 있지?"라는 식으로는 아예 생각을 안한건가 싶기도함.
물론 각이 길이와 다른 특수성이 있는건 맞음.
각이 길이에 비해 특히 혼란을 주는 이유는 다음의 두 가지임.
첫째, 실생활에서 60분법이 너무 지배적이며(이때문에 교육과정상으로도 60분법을 먼저 배우게 설계되어있으며), cm, m, km 등을 다양하게 익히며, 왜 다양한 단위를 배우는지 바로 이해가 가는 길이와 다르게, 각은 여러 단위를 배우지 않으며 실제로 그렇게 여러 단위를 배울 필요가 없다는 점. (참고로 길이는 인간이 길이를 측정하려는 대상들의 크기 차이가 너무 큰 경우가 많아서 다양한 단위가 필요하게 되는거. 각은 그렇지 않지.)
따라서 학생들은 이미 각의 크기 단위를 60분법 기준으로 완전히 통일하여 이해하고 있으며, 사실 60분법이 각의 크기를 측정하는 하나의 방식이라기보다는 "각=60분법"과 같은 이미지도 꽤 강하게 받게 됨.
근데 수학을 깊이 들어가려면 결국 모든 scale 중에서 편리함을 주는 유일한 scale인 호도법으로 통일시킬 필요가 있다보니...
이런 학생들에게 호도법을 가르치려면 기존의 각처럼 단위로서 rad를 정의하여 두 단위를 대등하게 비교할 수 있도록 한 번 만들 수밖에 었던거임. 그 후에 원래 목적인 "rad만 있는 세상"으로 은근슬쩍 이끌어서 단위를 없애버린거지. 
만약 교육과정에서 현실적 문제는 완전히 무시하고 수학적 깔끔함만을 추구하는 평행세계가 있다면, 그 세계에서 수학 교과서는 각을 배울 때 처음부터 단위를 아예 이야기하지 않았을 것임. (그 평행세계에서 각의 단위는 오로지 "이 숫자는 각을 나타낸 것"임을 알리기 위한 목적으로만 존재했을 것임) 반대로 우리 세계에서 각의 단위를 붙이는건, 실생활에서 60분법을 쓰고 있다는 현실적 문제 때문이지 어떠한 수학적 이유도 아님. (+어차피 공상이지만, 이 세계에서 어린 아이들은 각 개념을 라디안 각도기를 통해 읽는 것으로만 이해할 것 같다.)
둘째, 길이와 달리 각은 특정 단위를 나타내는 "표본 모델"이 구조적으로 다른 모양을 띄고 있다는 점 (이건 적확한 표현을 몰라서 다소 애매하게 말했는데, 대신 예시를 통해 설명하겠음. 길이의 경우 1cm를 나타내는 막대기를 두고, 모든 길이를 이에 대한 비율로 생각한다고 치자. 이 1cm를 나타내는 막대기를 "cm에 대한 표본 모델"이라고 부르겠음. 그러면 cm의 표본 모델이나, km의 표본 모델이나, 유클리드 공간에서는 그냥 똑같은 모양의 선분 하나이므로 똑같은 모습을 취함. 그러나 각의 경우 1rad를 나타내는 두 반직선과 1deg를 나타내는 두 반직선은 모양이 다름. (두 반직선이라 부르는게 이상하다면 그냥 부채꼴이라고 생각하면 됨. 나는 각을 "같은 점을 끝 점으로 가지는 두 반직선"이라는 도형으로서 정의하는 것을 선호하는 사람이라 저렇게 썼을 뿐. 내 관점에서는 각이라는 도형이 있고, 그 도형의 벌어진 정도를 나타내기 위해 "각의 크기"라는 값을 대응시키는 것으로 이해됨.)

내가 좀 헛소리 난무하는 논문 읽다보면 심하게 우울해지는 타입이라...
저거 읽고 답답한 마음에 횡설수설 써버렸네.
근데 그냥 지금까지 쓴거 지우기도 아까워서, 차라리 위에서 얘기한거랑 같은 내용을 아래에 좀 신경써서 요약하겠음.

[요약 1] 
다음은 순수수학에서는 현실적 문제가 엮이지 않는 한 각의 크기에 단위가 필요 없음을 설명한 내용이다.
(1) 각의 크기를 나타낼 때 여러 단위를 쓴다는 것은, 단순히 상수를 곱하는 scale 변환일 뿐이다. 
즉, 관련된 모든 공식에서 어떤 상수가 곱해지는지의 차이만이 나타날뿐이므로, 이는 수학적으로 흥미로운/의미있는 포인트가 아니다. 
따라서 가장 수학적으로 깔끔하게 만들어주는 scale을 찾는다면 그것으로 고정하는 것이 합리적이며, 그 가장 깔끔한 scale이 바로 호도법이다. 
(2) 단위를 쓰는 목적은 다음의 두 가지가 전부이다. 
     a) 무엇을 나타내는 것인지 보여줌으로써 가독성을 높이려는 목적
     b) 두 개 이상 정의되었을 때 혼란을 방지하기 위한 목적
이때 a)는 그냥 가독성/친절함의 문제라서, 실질적으로 중요한건 b)이다. 
그런데 b)의 목적은 단 하나의 단위만 쓰기로 약속된 상황에서는 사라진다. 
즉, 가장 유용한 하나의 단위가 존재하는 상황에서는 그 단위로 통일하면 되고, 이 경우 단위를 나타내는 기호 자체가 필요가 없다.

결론적으로 (1), (2)에 의하여
"순수수학에서 각의 크기는 호도법으로 통일하여 나타내는 것이 가장 편리하며, 따라서 단위를 쓸 필요가 없다."
라는 최종 결과를 얻는다..
실제로 우리나라 교육과정에서도 결국은 
"모든 각의 크기는 호도법으로만 나타내며 단위는 쓰지 않는다"
라는 걸 습득하도록 이끌지 않는가?

다만 degree를 실생활에서 이미 많이 쓰고 있으며 교육과정상으로도 먼저 배운다는 현실적 문제가 엮여있기 때문에, 
degree와 radian의 연결 관계를 다루고 넘어가야 하는 특수한 문제가 생겨버린 것이다. 
그리고 연결 관계를 다루는 그 잠깐동안만큼은, 두 단위를 구분하기 위해 단위의 표기를 할 필요가 생긴 것이다. 
다시 말해 관점을 바꿔야한다. 
"왜 단위를 생략하기 시작하는가"에 의문을 가질게 아니다. 
"왜 단위를 붙였는가"에 의문을 가져야 한다.

[요약 2]
길이는 cm/km 단위가 생략되었을 때 편안했던 것에 비하여, 각의 크기에서는 왜 deg/rad의 단위가 생략된다는 점이 불편하게 느껴질까? 다음은 이에 관한 설명이다.
(1) 선분의 길이와 각의 크기는 중요한 차이가 있다. 
(2) 선분의 길이는 "하나의 기본 단위"조차 정의될 필요가 없다는 특수성을 갖는다.
왜냐하면 모든 선분은 유클리드 기하의 특성군인 "등장+확대변환군" 내에서 단 1개 뿐이기 때문이다. 즉, 선분은 구조적으로 유일하다.
반면 각은 "등장+확대변환군" 내에서도 다양한 각이 나타나기 때문에, 이런 다양한 각들에 서로 다른 방식으로 각을 정의하게 되는 것이다. (물론 여기서 완전 제멋대로 정의하지 못하고 단순히 scale만 다르도록 정의가 가능하다. 그 이유는 호의 길이와 비례하도록 각의 크기를 정의해야 한다는 규약 때문이다.)
+) 위 내용은 사실 좀 쓸데없이 어렵게 쓰여진 것이라, 일단 이해를 하기 좋도록 다시 설명해보겠다.
여러분이 어떤 선분을 봤을 때, 그 선분의 모양을 보아하니 길이가 얼마여야 한다는 식으로는 말을 못한다. 
그러나 각은 다르다. 여러분의 각의 모양을 보고, 이 각의 크기가 60분법에서는 얼마고 호도법에서는 얼마 정도일 것이라고 이야기할 수 있다.