집합 관련 증명 문제 질문

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질문 집합 관련 증명 문제 질문

Knowbrain

추천 2 비추천 0 댓글 14 조회수 819 작성일 2022-07-25 14:11:47

https://arca.live/b/math/55124263

어떻게 증명해야 할까요..

댓글 [14] 글쓰기

ㅇㅇ

2022-07-25 15:05:51 답글

단사함수, 전사함수, 일대일대응의 정의를 사용해서...?

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ㅇㅇ (121.160)

2022-07-25 16:14:47 삭제 수정 답글

iff조건에 따라 풀면 자명히 될것같은데?

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ㅇㅇ (121.160)

2022-07-25 19:56:00 삭제 수정 답글

*수정됨

f가 단사라 하자
x in A => exist some y in f(A)  s.t y=f(x) by f가 단사함수  => f(x) in f(A)
thus x in f-1(f(A)) 
A가 f-1(f(A)) 의 부분집합
x in f-1(f(A)) => exist  some y in f(A) s.t f(x)=y
=> y in f(A) => x in A
f-1(f(A)) 가 A 부분집함
따라서 둘은 서로 같다

X의 모든 부분집합 A에 대해 f-1(f(A)) = A
let x in A => exist some y in f(A) s.t f(x)=y
suppose f가 단사아님.
Then exist some z in X s.t f(z)=y, x=/z
then z in A or z in X-A
1) z in A =>f(A)=f(A-{z})=> z in f-1(f(A))=f-1(f(A-{z}))
=> z in A-{z}
이는 모순
2) z in X-A => f(A)=f(AU{z}) by 가정 f(x)=f(z)
=> f-1(f(A))=f-1(f(AU{z})=A 
=> z in A by z in f-1(f(AU{z}))
이는 모순
따라서 두 경우 전부모순
f가 단사아니란 가정하 모순이 도출되므로 단사아니라는 가정이 모순  따라서 f는 단사

2번도 비슷하게 귀류법이랑 정의 이용해 풀어보셈

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ㅇㅇ

2022-07-25 19:00:26 답글

존나 기네
하지만 그만큼 알차다
댓글에 개추가 있었으면 존나게 눌렀을 텐데

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ㅇㅇ

2022-07-25 19:06:19 답글

그.. 그림땜에 댓삭하고 글 팔거라 댓좀 지우겠음 ㅋㅋㅋ

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ㅇㅇ

2022-07-25 19:07:04 답글

난 상관없음. 반쯤 전공자라 ㅋㅋ
근데 새로운 글에도 이 내용 다 들어가는 거지? 개추 500배 누른다

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ㅇㅇ

2022-07-25 19:24:10 답글

그림이 있으면 도움 될 것 같아서 새로 글팠음
https://arca.live/b/math/55137649

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ㅇㅇ (121.160)

2022-07-25 19:29:17 삭제 수정 답글

으야ㅏ ㅜ 대댓에 열심히 글썼는데 댓삭되서 지워졌네 ㅜㅠㅠㅜ 허므하네 ㅠㅜ

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ㅇㅇ

2022-07-25 19:31:06 답글

*수정됨

헐 미친 미안하다 너도 여태까지 깨어있는거보면 엄청 많이 써놨을거 같았는데;;
누가 대댓 달고 있을줄은 몰랐음.... 다음엔 댓글 내용만 날려버려야겠다... 미안 ㅠㅠ...

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ㅇㅇ (121.160)

2022-07-25 19:58:41 삭제 수정 답글

아냐ㅋㅋㅋㅋ 허무해서 걍 좀더 짧게 다시쓰는걸로 만족.. 님 정성글 보고  삘받아서 적아본거라 오랜만에 ㅋㅋ 재밌었음

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Enigma

2022-07-25 19:52:17 답글

*수정됨

집합에 대한 함수와 역함수 관계 생각할때, 역함수는 함수의 well-defined 성질을 만족하지 않을 수 있다는걸 깔고 가는게 좋음.

다시 말하면 함수 f 에다가 정의역의 원소 하나 집어넣으면 그 함숫값은 공역의 원소 중 어떤 한 값 이 나와야함 (함수라고 지칭했으니 well-defined 성질을 만족해야됨)
그런데, 그 함수의 역함수에다가 공역의 원소 하나 집어넣으면 그 값은 정의역의 원소 중 두 개 이상의 값이 나올수도 있고, 정의되지 않아서 값이 안나올 수도 있음. (f 가 함수라고 했지, 그의 역함수도 함수라고 한 것이 아니기 때문에)

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ㅇㅇ (154.27)

2022-07-26 01:00:22 삭제 수정 답글

1번은 원소 1개짜리 부분집합을 이용하면 됨.
x1 ≠ x2 이고 f(x1) = f(x2) 인 x1, x2 가 존재하는 경우 A = {x1} 이라 하면 f^(-1)(f(A)) = {x1, x2} 이므로 모순.

2번은 A = f^(-1)(B) 라고 할 때, B는 f(A) 에 없는 원소도 있을 수 있다는 점을 생각하라는 뜻임.
다시 말해서 f(x) = y 인 x 가 존재하지 않는다면, 그런 y를 B에 얼마든지 포함시켜도 A = f^(-1)(B) 는 그대로 성립하니까
f(A) = B 가 항상 성립한다는 말은 그런 y 가 공변역 Y 에 존재하지 않는다는 뜻이라는 걸 보이라는 말임.

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Knowbrain

2022-07-26 09:38:13 답글