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간단한 문제 재밋는 문제 찾음

_Theorem_

추천 2 비추천 0 댓글 7 조회수 490 작성일 2022-07-26 07:55:28

https://arca.live/b/math/55166983

댓글 [7] 글쓰기

kusakusa

2022-07-26 12:14:14 답글

*수정됨

출전이 어디임?
퍼트넘인가

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ㅇㅇ

2022-07-26 12:39:24 답글

풀고나니 중학교 내용으로 끝이네

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ㅇㅇ (154.27)

2022-07-26 12:39:37 삭제 수정 답글

(x^2 + 2x + 1)(x - 1) = x^3 + x^2 - x - 1
(x^4  + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1)(x - 1) = x^5 + x^4 + x^3 - x^2 - x - 1
...
(x^4032 + 2 x^4031 + ... + 2017 x^2016 + 2016 x^2015 + 2015 x^2014 + ... + 1) (x - 1) = x^4033 + x^4032 + ... + x^2017 - x^2016 - x^2015 - ... - 1

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kusakusa

2022-07-27 00:13:42 답글

둘 다 2016을 넘는 계수가 있어야 하는거 아님?

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ㅇㅇ (154.27)

2022-07-27 03:41:14 삭제 수정 답글

아, 둘 다인가. f와 g의 계수들 중 그런 게 있다는 말로 생각했네. 감사~~

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ㅇㅇ (154.27)

2022-07-27 23:41:15 삭제 수정 답글

f와 g 양쪽 모두 2016을 넘는 계수가 있게 하기 위해서 위의 풀이를 조금 수정했음.
h(x) = (x^4032 + 2 x^4031 + ... + 2017 x^2016 + 2016 x^2015 + 2015 x^2014 + ... + 1) (x - 1)  라 하자.
h(x) = x^4033 + x^4032 + ... + x^2017 - x^2016 - x^2015 - ... - 1  이므로 h(x)의 모든 계수는 절대값이 1 이하이다.
h(x^4034) h(x) 도 마찬가지로 모든 계수가 1 이하이다.
h(x^4034) = (x^(4034 * 4032) + 2 x^(4034 * 4031) + ... + 2017 x^(4034 * 2016) + 2016 x^(4034 * 2015) + ... + 1) (x^4034 - 1) 이므로
f(x) = (x^4034 - 1) (x^4032 + 2 x^4031 + ... + 2017 x^2016 + 2016 x^2015 + 2015 x^2014 + ... + 1)
g(x) = (x - 1) (x^(4034 * 4032) + 2 x^(4034 * 4031) + ... + 2017 x^(4034 * 2016) + 2016 x^(4034 * 2015) + ... + 1)
로 놓으면 f, g는 모두 절대값이 2016 을 넘는 계수가 있고 f(x) g(x) = h(x^4034) h(x) 는 모든 계수가 1 이하이다.

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Lmpa314

2022-12-27 04:42:32 답글

f(x) = 0(2017x)
g(x) = 0(-2017x)

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