원문:  https://arca.live/b/math/55124263 

어떻게 증명해야 할까요.. 

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(사진을 올리기 위해 댓글에 있는 글을 붙여넣기 한 글이라서 글이 상당히 댓글스럽게 써있음. 이 점 양해바람...)

너가 써 놓은 걸 봤을 땐.... 개인적인 판단으로는 너가 집합론에 대해 거의 첫 발을 뗀 수준이라고 느꼈음. 내가 독학했을 때 이 부분에 대해서 고민도 많이 하고 오해도 많이 했던 사람이라서, 아예 길게 쓰는 편이 장기적으로 도움 될 것 같아서 길게 써봄. 

내가 너의 수준이 어느 정도인지 몰라서 다 쓸건데, 만약 너가 알고 있다 싶은건 적당히 넘겨보셈. (모르겠다 싶으면 다시보셈)

그래서 2)는 시간 관계상 다루지 못할듯.. 그래도 아래의 과정만 착실히 따라간다면 혼자서 할 수 있을 정도로 써놓긴 하겠음.

편의상 집합의 포함관계를 A<B 같은 식으로 쓰고, 원소의 포함을 xㅌA 같은 식으로 쓰겠음. 

또 편의상 f^(-1)을 g라고 쓰는 점을 양해해주셈.

또 저런 형태의 명제를 증명하는 방법은, 각각의 정의에 의해,

두 집합이 같음, 즉 A=B를 보이려면 일반적으로 A<B와 A>B를 보이면 됨.

A<B를 보이려면 일반적으로 임의의 aㅌA들이 aㅌB이기도 함을 보이면 됨. (임의의 aㅌA에 대해, aㅌB이다.)

또 p와 q가 필요충분조건임을 보이려면 일반적으로 p=>q와 q=>p를 보이면 됨.

그리고 노파심에 적는건데, 1)은 정확하게 말하자면 

"X의 임의의 부분집합 A에 대해 g(f(A))=A"이기 위한 필요충분조건은 함수 f가 단사함수

인 것임. '임의의'라는 말이 없으면 =>가 성립하지 않음. 

2)도 정확하게 말하자면

'Y의 임의의 부분집합 B에 대해 f(g(B))=B이기 위한 필요충분조건은 f(X)=Y (즉, f가 전사함수)

인 것임. 

참고로 이제부터 단사, 전사 라는 용어에 익숙해지는게 좋음. 

단사함수는 '일대일 함수' 전사함수는 '위로의(onto) 함수'에 해당함. (참고로 '일대일 대응인 함수'는 '전단사함수'라는 식으로 표현을 함) 하지만 이를 전사, 단사, 전단사의 용어로 표현하면 용어간의 관계가 좀 더 명확하게 표현이 됨. (영어 표기 또한 유사함)

즉, f가 전사함수라는 것은 2)에 써있는 f(X)=Y임을 뜻함. f(X)는 치역이고, Y는 공역임.

아래의 뜻풀이가 정확하진 않지만,

단사는 '정의역의 원소 하나하나를 따로따로(홑 단單) 보낸다(쏠 사射)', 

전사는 '공역의 원소 모두(온전할 전全)에게로 보낸다(쏠 사射)'라는 식임. (한자는 정확함)

가장 먼저, f(A)라는 것은 '함수 f에 의한 집합 A의 상'이라고 표현함. 우리는 여태껏 원소만 함수로 보내왔는데 이젠 집합을 보낼 예정임. 당연히 f(a)와 f(A)는 구분되어야 하는 표기임. 쉽게 말하면 f(a)는 원소, f(A)는 집합임. 

이 f(A)의 정의는, 보기에도 그렇듯이 간단함. A의 원소들을 f로 보냈을때 대응되는 원소들의 집합임.

그런데 '역상 g(B)'가 왜 저런식으로 정의가 됐는지 납득하지 못하면 아래의 말들을 이해하기 어려움. (다시 한 번, g=f^(-1)라는 점을 적어둠)

역상 g(B)라는 것은, f에 의해 B로 보내게 되는 정의역의 모든 원소들을 모아둔 집합이라는게 보임? f(A)와 대비되어 '역상은 저런 집합'인 것이 자연스럽게 느껴짐? 

자연스럽게 느껴진다면, 이제 역으로 너라면 역상 g(B)를 어떻게 수학적으로 정의할지, 즉 "f에 의해 B로 보내게 되는 정의역의 원소들을 모아둔 집합"을 어떻게 수학적으로 표현할지 적어보셈. 

만약 그 결과가 위에 나온 정의와 일치하게 된다면, 너는 이제 역상의 정의를 자연스럽게 받아들인 셈이 된 것임. (너가 직접 '역상' 개념을 정의한 셈이 된 것임)

이제 집합의 상과 역상이 어떤 식으로 자연스럽게 정의가 됐는지는 알게됐으리라 판단하고 넘어가겠음.

또 집합의 역상은, 원소를 보내는 역함수와 다르게 항상 정의할 수 있음을 생각해주셈. (단지 기호만 동일하다고 받아들이면 좋음)

(본래 질문글의 Enigma님의 댓글을 참고하면 좋음)

그러면 이제 두 가지 예제만 보고 넘어가자.

Ex1) xㅌA 라면 f(x) ㅌ f(A) 이지만, 역은 성립하지 않음 (왜냐하면 f가 단사가 아닐 수도 있기 때문)

Ex2) xㅌg(B) 라면 f(x)ㅌB 이며, 역 또한 성립함 (=> 와 <= 모두 역상의 정의에 의해 성립)

만약 위의 두 명제가 수식으로서 받아들일 뿐만 아니라, 직관적으로(혹은 그림을 통해) 받아들일 수 있다면 성공임.

그래야 나중엔 너가 저 두 예시를 딱히 외우지 않고도 바로 바로 생각이 나서 써먹을 수 있음.

마치 저 두 예시가 상과 역상의 '정의'인 것처럼, 저걸 너무나 자연스럽게 받아들인다는 얘기임. 

(물론 그러기까지는 좀 익숙해져야겠지만 말임) (물론 저 예시의 증명 자체는 수식적인 정의로 해야 함)

이제 아래 단계로 넘어가도 좋음.

아무튼 이제 시작해볼건데, 저 명제들이 굉장히 중요한 명제들이니만큼 증명만 띡 던져놓기 보다는, 저 명제를 어떻게 발견했는지에 대한 생각 과정에 대해 설명하겠음. (그래야 너가 저 명제를 다음에 스스로 생각해낼 수 있음)

이제부터 아래에 그려보라고 하는 것들을 종이에 그려보셈. 나는 이러한 직관으로 시작해서 증명해 나갈거임.

(만약 어렵다면 맨 아래 ps.에 있는 그림을 참고하셈)

가장 먼저 정의역 X, 공역 Y의 함수관계를 벤다이어그램 형태로 그려서 나타내보셈.

혹시 일반적으로, 함수 f가 어떤 함수건지간에 g(f(A))>A이 성립함은 알고있음? 

(가장 먼저X 안에 부분집합 A를 그려주셈.)

왜냐하면 일단 함수 f에 의해 집합 A의 원소들을 모조리 보낸 결과가 f(A)라는 집합으로 표현되잖음? 

(Y 안에 집합 f(A)가 포함되도록 집합 f(A)를 그려보셈)

그런데 역상의 정의를 보면, g(f(A))는 함수 f에 의해 결국 공역 속의 집합 f(A)로 보내게 되는 모든 정의역 X의 원소들을 모아둔 집합이잖아.

그러니까 f(A)의 역상인 g(f(A))에는 A의 원소들이 모조리 포함되겠네. A의 원소는 어쨌든 f에 의해 보내지면 f(A)에 속하는 원소가 되니까.

따라서 g(f(A))>A가 그려짐.

(위의 말을 그림으로서 이해해보셈)

그런데 그림에서 알 수 있듯이, 집합 X-A의 원소 중에서도 f(A)의 원소로 보내는 원소가 있을 수 있잖아? 즉 A의 원소 a와 X-A의 원소 a'에 대해, f(a)=f(a')ㅌf(A)일 수 있잖아? 

(집합 A 안에 점 a를 찍어보고, X-A에 점 a'를 찍어보셈. 또 집합 f(A)에 점 f(a')를 찍어보셈. 점 a와 점 f(a')를 연결하고, 점 a'와 점 f(a)(=f(a'))를 연결해보셈.)

그림을 살펴보니, 정말 f가 단사가 아니라면 이렇게 될 수가 있잖아? 하지만 역으로 단사라면 이럴 수는 없다고 생각할 수 있겠네. 그러니까 f가 단사라면 g(f(A))=A라고 할 수 있지 않을까? 또 g(f(A))=A인것은 f가 단사일 때밖에 없지 않을까?

남은건 이 의심을 증명하면 됨. 

그 전에 정리하겠음. 너가 그린 그림을 보면서 아래 글을 봐주셈.

A를 f에 의해 f(A)로 보냈는데, f(A)에 역상 g를 취한 집합 g(f(A))는 A를 포함하게 됨. 하지만 g(f(A))가 A는 아닐 수 있음. 

왜냐하면 집합 X-A의 원소 중에, f를 통해 집합 f(A)로 보내는 원소가 있을 수 있기 때문. 즉, 단사가 아닐수도 있기 때문. 

(방금 그림의 점 a' 얘기임)

이 말을 그림으로서 한번에 이해할 수 있다면, 너는 너가 증명할 1)을 한번에 이해한 것임.

(참고로 집합론적으로 굉장히 자주 등장하는 중요한 명제니까 1), 2)는 이런식으로 익숙해지게 하는 것이 좋음)

이제 증명하겠음. 필요충분조건은 =>와 <=을 따로 보이면 됨.

그리고 아래에 '역상의 정의'라는 말을 많이 쓸 예정인데, 이 부분을 잘 모르겠으면 맨 위에 역상의 정의에 다뤘던 부분과 Ex2로서 다뤘던 부분을 다시보셈.

=>의 증명) 먼저 X의 임의의 부분집합 A에 대해 g(f(A))=A라면, f가 단사임을 보인다.

즉 함숫값이 같은 임의의 a,bㅌX에 대해(즉, f(a)=f(b)), 결국 a=b가 됨을 증명하면 된다. (단사의 정의)

----발상----

이 때, aㅌX에서 aㅌA인 X의 부분집합 A를 잡을 때 A={a}라고 잡아보겠음 (가정에 의해 '임의의' 부분집합이니까 가장 쉬운걸로 잡음) 즉, g(f( {a} ))={a}이 성립함을 생각해주셈.

그런데 아까 너가 그린 그림을 보셈. A={a}라면 A를 f에 의해 보냈다가 역상 g로 보낸게 {a}잖음? 이 점을 f(a)=f(b)와 연결시키겠음.

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f(b)=f(a)ㅌf({a})에서, (f(b)ㅌf({a}) 임에 집중하면) bㅌg(f( {a} ))임. (역상의 정의) 그러므로 bㅌg(f( {a} )) = {a} 에서 b=a. 따라서 f는 단사.

위의 증명에서, 집합의 상으로서의 f 기호와 원소의 함숫값으로서의 f 기호를 매우 많이 혼용했음. 그런 의미에서 위의 증명을 확실히 이해하고 넘어가야함. f({a})는 집합(Y의 부분집합)이고, f(a)는 원소(Y의 원소)임.

(참고로 Ex2를 썼다고 여겨질텐데, Ex2를 외워서 사용하는 것 보다는 저런 방식의 논리 진행을 자연스럽게 떠올리는게 장기적으로 바람직함.)

<=의 증명) 이제 역으로 f가 단사라면, X의 임의의 부분집합 A에 대해 g(f(A))=A가 성립함을 보인다.

g(f(A))>A와 g(f(A))<A을 증명하면 g(f(A))=A가 증명됨.

먼저 g(f(A))>A임을 보인다

임의의 aㅌA에 대해, aㅌg(f(A))임을 보이면 됨.

이건 하나씩 생각하면 됨. 먼저 aㅌA라면 f(a)ㅌf(A)가 성립함. 따라서 역상의 정의에 의해 aㅌg(f(A))임.

(위에서 벤다이어그램 그렸던 기억 남? g(f(A))>A가 일반적으로 성립한다고 했잖음? 그게 이 얘기임. 역상의 정의를 알고나서 증명으로 보니까 그 벤다이어그램이 엄청 간단한게 증명되는게 보임?)

다음으로 g(f(A))<A 임을 보인다. 이로서 g(f(A))=A가 최종적으로 증명이 된다.

----발상----

위에서 얘기했듯이, 이 부분은 f가 단사여야만 성립할 수 있는 얘기였음. 따라서 단사의 성질을 이용해야 함을 머릿속에 계속 넣어주셈.

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임의의 aㅌg(f(A))에 대해, aㅌA임을 보이면 증명이 끝난다.

그런데 역상의 정의에 의해, aㅌg(f(A))라는 것은 f(a)ㅌf(A)을 뜻하게 됨.

----발상------

우리는 여기서 aㅌA임을 끌어내고싶음. 어떻게 할까?

우리가 위에서 했던 그림을 다시 보셈. a는 g(f(A))의 안에 있는게 가정이었잖음? 그리고 우리는 aㅌA을 증명할 것이고.

그런데 그림을 그릴 때 맨처음에는 a를 A안에 그렸었던 기억 남?(이때의 a는 지금의 a와 다름) 
그리고 a'를 X-A 안에, f(a)를 f(A)안에 그려서 f(a)와 a, f(a)와 a'를 각각 연결시켰던거 기억남? 우리가 이것 때문에 '단사성'을 문제삼았었잖음? 그러면 이것을 이용해 증명하면 되지 않을까? 그러면 이 상황은 단사가 아닌, 즉 결론에 모순되는 상황이니 귀류법을 생각하겠음.

자 이제 그려져있던 a, a', f(a)같은 점들을 모두 지우고 새로운 상황에서 시작해보겠음.

만약 귀류법으로, a가 g(f(A))의 안에 있으면서도 A의 밖에 있다는 상황이라고 해보겠음. 이 때의 a가 어디 위치할지 점을 찍어보셈.

그런데 생각해보셈. f(A)의 원소는 A의 원소와 함수 f에 의해 대응이 됨(f(A)의 정의). 

그러면 f(a)는 f(A)의 원소니까, f(a)와 대응이 되는 A의 원소가 존재하겠네. 그걸 a'라고 점 찍어서 그려보셈.
(아까와 비교했을 때, a와 a'의 위치가 서로 정 반대임) 

그러면 이제 집합 f(A)속에 점 f(a)를 찍어보면, f(a)는 너가 그렸던 두 점 a와 a'와 동시에 대응이 됨.

그런데 a와 a'는 서로 다른 집합속에 속하니까 a≠a'잖아?

근데 f는 단사니까 이렇게 두 원소가 한 원소로 가는 상황은 없겠네? 따라서 모순적인 그림이네? 이걸 수식으로 쓰면 끝임.

(위의 상황이, 최초에 벤다이어그램을 그렸던 상황과 유사한게 보임?)

물론 발상은 귀류법으로 하긴 했지만, 어차피 주요 발상은 위의 밑줄친 부분이므로 이를 이용하여 아래와 같이 직접증명할수도 있음.

참고로 f(A)의 원소가 A의 원소와 함수 f에 의해 대응이 된다는 것은, f(A)의 모든 원소는 f(x) (xㅌA) 꼴로 표현이 가능함을 뜻함. 수식으로 표현해서 달라보이겠지만 이는 단순히 f(A)의 정의임!

이를 수식으로 표현해보면 이렇게 됨: 임의의 yㅌf(A)에 대해, 원소 xㅌA가 f(x)=y를 만족하도록 존재한다.

이것과 너가 올린 사진의 f(A)의 정의를 한 번 비교해보셈. 

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즉, f(a)ㅌf(A)이므로 f(a)=f(a')인 a'ㅌA가 존재함. 그런데 f는 단사이므로 a=a'. 따라서 a=a'ㅌA이다.

이렇게 증명이 끝나게 됨.

위에 길게 써놨지만, 이 과정은 머릿속에서 이루어지므로 실제로는 짧은 과정일 수 있음. 

실제로 글로 정리하면 훨씬 짧은 과정으로 보여지게 됨. 

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1)에 나온 명제의 의미 (이건 글보다 너가 그림을 그리는 과정 자체가 중요함. 참고용 그림은 아래 그림을 참고하셈)

A를 f에 의해 f(A)로 보냈는데, f(A)에 역상 g를 취한 집합 g(f(A))는 A를 포함하게 됨. 하지만 g(f(A))가 A는 아닐 수 있음. 

왜냐하면 집합 X-A의 원소 중에, f를 통해 집합 f(A)로 보내는 원소가 있을 수 있기 때문. 즉, 단사가 아닐수도 있기 때문. 

따라서 일반적으로 g(f(A))>A가 성립하며, 이 때 f가 단사라면 g(f(A))=A가 성립할 것 같은데 실제로도 성립한다.

=>의 증명) 먼저 X의 임의의 부분집합 A에 대해, g(f(A))=A라면 f가 단사임을 보인다.

f(a)=f(b)인 임의의 a,bㅌX에 대해, f(b)=f(a)ㅌf({a})이므로 bㅌg(f( {a} )). 그러므로 bㅌg(f( {a} )) = {a}. 따라서 b=a이므로 f는 단사.

<=의 증명) 이제 역으로 f가 단사라면, X의 임의의 부분집합 A에 대해 g(f(A))=A가 성립함을 보인다.

먼저 g(f(A))>A임을 보인다. 임의의 aㅌA에 대해 f(a)ㅌf(A)가 성립하므로 aㅌg(f(A)).

다음으로 g(f(A))<A 임을 보인다. 임의의 aㅌg(f(A))에 대해 f(a)ㅌf(A)가 성립함. 따라서 f(a)=f(b)인 bㅌA가 존재함. 그런데 f는 단사이므로 a=bㅌA이다.

(편의상 a' 대신 b라고 표현했음. 그래도 증명흐름은 변하지 않음.)
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어떰? 이렇게 몇 줄 안될정도로 엄청 간단하게 표현되는데, 거기까지 도달하기 위한 발상들이, 숨겨진 의미들이 보임?

2)도 유사한 과정으로 생각해주면 됨. 2) 풀 때, '임의의 부분집합'넣어서 문제 수정해주는거 잊지 말고 ㅇㅇ

힌트: f(g(B))<B는 일반적으로 성립함. 이 때, f가 전사함수(치역f(X) = 공역Y)라면 f(g(B))=B가 성립함.

이걸 위에서 한 것처럼 벤다이어그램으로 직관적으로 생각해준 다음, 증명해보셈.

(어려울 경우, 아래에 있는 그림을 참고하셈)

그리고 1과 2를 다시 한 번 스스로 증명해보셈. 하면 할수록 놀라울 만큼 과정이 줄어들것임.

마지막으로 1과 2명제를 보지 않고, 그림을 떠올리면서 스스로 그 명제들을 구축해보셈.

이 과정까지 완료했다면 상과 역상에 관한 논의는 앞으로 헷갈릴 일이 적을 것이고, 헷갈리더라도 금방 복구할 수 있을 것임.

ps. 참고용 그림임. 위의 글을 보면서 벤다이어그램을 어떻게 그릴지 모르겠을 때 참고해주셈.

위의 그림이 1)번 명제, 아래 그림이 2)번 명제에 해당함. 모두 f가 일반적인 함수인 경우의 그림임. 즉 1은 f가 단사가 아닐 경우, 2는 f가 전사가 아닐 경우의 그림임.

(반드시 똑같을 필요는 없고, 대충 저런 느낌이다 정도면 충분하다고 봄. 내가 실제로 저 명제를 쓸 때조차 저렇게 자세하게 그리지 않고 단순하게 그리니까, 훨씬 간단해도 스스로가 이해만 간다면 상관없다고 봄.)

//// 는 공역-치역    이라고 써 놓은 것임 (폰으로 슥슥 그린거라 퀄리티가 좋진 않음)