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간단한 문제 답은 간단한데 어려운 문제

_Theorem_

추천 3 비추천 0 댓글 12 조회수 726 작성일 2022-10-01 16:15:38

https://arca.live/b/math/59800735

임의의 자연수 n에 대해, 역수의 합이 1이 되는 n보다 큰 서로 다른 유한개의 자연수를 찾을수 있음을 증명하라.

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바둑이

2022-10-01 16:59:38 답글

1=1/2+1/3+1/6
1/m=1/2m+1/3m+1/6m
중간에 분모 같아도 안합치고 위식 이용해서 분모  무한히 크게 만들 수 있음.

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ㅇㅇ

2022-10-01 17:25:59 답글

*수정됨

위의 식만 이용한다면
1/(2^a 3^b) 꼴만 등장하는데 이걸 모든 a>3, b>2에 대해 더하면 1보다 작음
그러니 n=2^4 3^3만 해도 안겹치고는 불가능함

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바둑이

2022-10-01 17:45:33 답글

ㅈㅅ 너무 멍청했다

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ㅇㅇ

2022-10-01 17:28:12 답글

1/n = 1/n(n+1) + 1/(n+1) 인데 1=1/2 + 1/3  + 1/6 에 적용해서 만들 수 있음

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ㅇㅇ

2022-10-01 17:42:02 답글

1=1/2 + 1/3  + 1/6 에 적용해서 나오는 식은 결국 1/a 꼴 3개와 1/b(b+1) 꼴 여러 개의 합인데
n=100이라면 a>100, b>9일거고 서로 다르게 다 더한다 하더라도
L=1/101 + 1/102 + 1/103 + ∑_(b>9) 1/b(b+1) 보단 작아야함
여기서 L<1이므로 결국 안겹치는건 불가능함

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ㅇㅇ

2022-10-01 17:49:15 답글

맞네

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ㅇㅇ

2022-10-01 18:07:51 답글

근데 1/n(n+1)에다 적용하면 1/a 개수 3개 아니지 않음?

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ㅇㅇ

2022-10-01 18:10:03 답글

그러면 1 이상은 가능하겠구나
중복 피하는거 좀 메꿔봐야겠네

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ㅇㅇ

2022-10-01 18:12:13 답글

내가 생각한게 저런 형태로 전개 했을 때 분모 가장 작은거에 적용해서 겹치는거 있으면 그거에 또 적용하는 방식으로 분모를 키울 수 있고 처음에 유한개 주어져 있으니까 이 과정을 유한 번 적용하면 안겹치게 할 수 있을거다라고 생각함

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ㅇㅇ

2022-10-01 18:14:17 답글

언젠가 안겹칠거다 하는건 위에 댓글에 1/(2^a 3^b) 꼴처럼 불가능할 지도 모르기 때문에 확인은 해봐야함

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다경

2022-10-02 01:02:43 답글

모든 분수는 중복을 허용하는 단위분수로 분해가능함. 임의의 n에 대해 1/(n+1)을 n+1개 준비하자. 피보나치의 단위분수분해식 1/a=1/(a+1) + 1/a(a+1)을 이용하면, 1/(n+1)을 하나를 제외한 나머지 n개에 대해 적용하면 1/(n+1)은 하나가 남음. 이런식으로 n+1부터 모든 자연수의 역수에 대해 분할을 시도하면 조건을 만족하는 자연수들이 나옴. 

첫 분할에서 생긴 수들은 피보나치 분할의 첫번째 항의 최대 크기는 2n+3임. 둘째 항의 가장 작은 자연수 (n+2)(n+1)보다 항상 작음. 둘째 항들은 최대 n개의 중복되는 단위분수들로 이루어질텐데, 이들은 피보나치 분해를 적용해도 첫째항은 다음 둘째항보다 작고, 둘째항은 모든 둘째항들보다 크기 때문에 중복되지 않는다. 즉 최대 n 번의 거듭된 분할 끝에는 유한한 단위분수들만 얻을 수 있다. 

n=1일때 2 3 6
n=2일때 3 4 5 12 13 156
n=3일때 4 5 6 7 20 21 22 30 31 42 420 421 462 930 176820 이런식

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_Theorem_

2022-10-03 09:31:06 답글

맞을수도?
내가 의도한 풀이는 이런게 아니라

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