(2023.05.23 수정)

여기에 글 쓰다 보니 여러 고수님들이 글에 코멘트를 달아줘서 기뻣음.

나름 내 주장을 이야기 하다 보니 다소 무례해 보일지 모르겠지만

빡빡한 수학을 탐구하는 좋은 시간이었음

(본인은 수학은 빡빡한 학문이고 빡빡해야 의미가 있다고 생각함)

그리고 고수분들 저는 대학교 학부 1학년 공대용 미분적분학 이후로

수학을 파지 않아서 알려주실 때

예를 들면

집합론에서 나온 어떠한 것에 의하면 이것이 아닌 것 같다 이렇게 설명해주시면 좋겠습니다.

그냥 discrete하다 같이 이야기 하시면 저는 미분적분학에서 배운

불연속을 가져다 놓을 수 밖에 없습니다.

그래서 알려주시기 전에 집합론에서 나왔다 라는 식으로 대답해주시면

저와 범위가 다른 것이라 수긍할 수 있을 것 같습니다.




먼저 삼각함수도 결국 함수이기 때문에

입력을 넣으면 출력이 나온다는 것을

함수의 정의에 따르면 유추할 수 있을 거임


이때 선형적인 정리가 난무하는

(선형적인 정리란 한 방향으로만 성립하는

정리들을 말함)

수학의 세계에서

입력에 도, 분, 초 를 넣어서

출력을 실수가 나오기를 바라는 것은

대단히 특이한 경우가 아니고 서는 힘들 거임


2023.05.23수정함

밑에 댓글 보고서 오류를 수정합니다.

입력이 도, 분, 초 면 출력이 실수로 만들어진

수직선 위에 점으로 나올 거라 말씀드리고 싶었습니다.

그 사이를 채우려면 라디안을 이용해서 대응시켜야 된다고 봤습니다.

제가 급하게 작성하다 보니 미흡한 점이 있었던 것 같습니다.

죄송합니다.


그래서 내가 미분적분학 배울 때

가르치시는 분이 도, 분, 초 가

불연속적이라고 설명하셨을 것 같음


저번 글에 올렸던 자료들임

수학을 더 깊게 배우신 분들에게는

오념 투성이지만

미분적분학 배우는 우리들은


라디안이 아닌 도, 분, 초 를

삼각함수에 넣으면 저렇게

불연속적인 값이 나와서

라디안을 넣는 것이라 이해해도 될 듯함


라디안은 실수라 함수에 실수를 넣어서

결과가 실수가 나오는 것은 당연하게 받아들일 수 있음


만약 상위 수학을 배울 분들은

상위 수학을 배우시면서

자연수에서 정수를 배웠던 시절만큼

혼란이 생기겠지만 지금은 넘어가도 될 듯함


이제 라디안을 받아들이신 분들은

삼각함수의 입력부에 임의의 실수를

넣으면 출력으로 실수가 나온다는 사실을 받아들였길 바람

아직도 몰루겠으면 아래 켈시를 보고서

꼴받고 다시 받아들여보도록 하자

이제 삼각함수가 삼각함수인

이유인 직각 삼각형을 그려보자


삼각함수인 이유는 저 직각삼각형의 각도를 마음껏 바꿀 수 있기 때문임

왜 하필 직각삼각형이죠? 라고 말하고 싶은 사람들도 많겠지만

이유는 정의를 그렇게 해서 그런 거니까 뭐라고 말하지마셈

(근데 별 보는 사람은 왜 직각삼각형인지 알 수도 있음)


이제 정의를 내리자면

이렇게 정의됨

근데 전에 썼던 글에서

라디안은 도,분,초 에서

유래했다고 했는데

이 도, 분, 초 가

주기성을 가지고 있어서

수학자들은 라디안을

주기성을 가지게 만들도록 해서

표현을 단위 원을 이용해서 표현하기로 함

(아마 전 글에 Hess님이 댓글 달았던

텐서가 아마 이거일 거라 생각함

필자가 텐서를 공부한 사람이 아니기

때문에 그냥 그럴 수도 있다라고만

생각하시면 될 듯)

그래서 다시 쓰자면

이렇게 표시하고

수학은 일반화를 시키기 때문에

단위 원 말고 반지름이 r인 원으로

만들어버림

이렇게 만들고 정의를 시작함

(사실 각도를 표현하는 자연스러운 방법은

(세타)지 x는 아님 이것은 후에 극 좌표를 배우면

자연스럽게 알게 됨)

다시 삼각함수를 정의하면

이렇게 정의 됨

이제 x가 변함에 따라

그래프를 보이자면

sin(x)

(요즘 문명이 좋아졌네요

Geo Gebra라는 프로그램을 이용했습니다.)

함수의 최대치가 1이고 최소치가 1

주기가 2PI인 진동 운동을 함

(가장 자연스러운 표현은

진폭이 1이고 주기가 2PI인

진동을 한다가 자연스럽지만)

수학은 저 진폭의 정의가 애매해질 수 있어서

위와 같이 모호히 표현함

그냥 알아서 하셈

cos(x)

sin을 90도(PI/2)만큼의 차이로 따라가는 거로

볼 수도 있고 앞질렀다고 볼 수도 있음


아마 내 생각엔 원래

두 개념이 서로 엮인 상태로

왔을 것 같은데

우리는 그걸 모르니까

우리가 아는 것을 통해서

이 둘의 관계를 추론해야함


이때 가장 무식하면서도 확실한 관계가

그냥 숫자들을 규칙에 따라 나열하고

비교해보는 거임

계산하기 쉬운


특수각을 통해서 보겠음

우리가 볼 값은

0 (0도)

PI/6 (30도)

PI/4 (45도)

PI/3 (60도)

PI/2 (90도)

를 볼 거임

(이거 유도는 솔직히

고등학생 때 직각삼각형

그리면서 알고 있으리라 믿겠음)

이렇게 보면 둘은 서로

제곱의 합이 1이 됨을 알 수 있음

(왜 그런진 묻지마셈 교양 수학을 안 배워서

나도 몰루)



이제 맘에 들진 않지만

억지로 엮어보면


마법의 직각삼각형의 정리

피타고라스 할아버지의

정리를 이용해야 하는데

피타고라스 정리에 의해서

임은 모두 알 거임

그리고 아까


로 엮는 것이 목적이라고 했는데

sin과 cos이

이렇다는 것은

앞에서 정의 했으니

식에 대입해보면

이런 형태로 대입이 될텐데

분모가 같으니까

통분가능

그리고

분자들의 합이

분모와 같다는 것이

피다고라스의 정리로

증명되므로

sin과 cos은 제곱의 합이

1이라는 것으로 엮임


sin과 cos은 두 개가 엮였다는 것만

알면 아마 미분적분학에서는 문제 없을거임



tan(x)

tan는 그냥 로 단순히 정의 했었을 것 같은데

대학교 미분적분학에선

로 정의하게 될 거임


여기다 정리하다 보니까

생각보다 양이 많아지는 것 같아서

오늘은 여기까지 해야겠음

또 생각하는 거 있으면 정리해보겠음


질문과 지적은

글 작성의 원동력이라

언제든 환영입니다.