문제임
1번째 줄 - 삼차함수가 실근이 2개이니, 한 지점에서는 접점이 아닌 교점, 또다른 지점에서는 접점일 거임.
a가 접점인 경우, b가 접점인 경우인 두 가지의 경우가 있겠지.
최고차항의 계수의 부호를 모르는 상태이니, 아직 그래프 개형은 특정하지 말고 2번째 줄로 가보자.
2번째 줄 - g(n)의 정의역은 자연수 전체의 집합임.
곧, 모든 자연수 n에 대하여 g(n)의 값이 존재해야함.
3번째 줄 - g(n)에 대한 식이 나와있다. n이니 h니 절댓값이니 따질 게 많아 보인다. 차근차근 가보자.
대략적으로만 보면 미분계수의 정의를 나타내는 식과 비슷하다. 분모의 h^n에 lim 앞의 (-)를 가져와서 분자의 꼴과 동일하게 n-h^n+n으로 맞추어주면...
|f(x)|의 x=n에서의 미분계수와 비슷한 의미일 것 같다. 그런데 여기서 유의할 점은, 0으로 수렴하는 h에 n제곱이 되어 있다는 것이다.
여기서 어떤 점을 따져야 할지를 알기 위해서는, 2가지 개념을 알고 있어야 한다.
첫 번째, 극한값을 따질 때, 따지는 지점에서의 좌극한과 우극한이 다르면, 그 지점에서 극한값은 존재하지 않는다. 아래 그림과 같이 말이다.
이 그림에서는 h(x)의 x=n에서의 극한값이 존재하지 않는다.
두 번째, x^n의 그래프의 개형을 알고 있어야 한다. x^n의 그래프는 n이 짝수인지, 홀수인지에 따라 개형이 다르다.
이 두 가지 개념을 가지고 판단해보자.
h→0이라는 건 h→0+와 h→0-으로 나누어 볼 수 있다. 즉 각각 오른쪽에서 0으로 가까워지는 상태, 왼쪽에서 0으로 가까워지는 상태이다.
이를 h^n의 그래프에서 관찰해보자.
n이 짝수일 때에는, 0+이든 0-이든 짝수 번 제곱을 하게 된다. 양수든 음수든, 짝수번 제곱을 하면 양수가 되므로 결과적으로 h→0+와 h→0- 에서 h^n은 0보다 큰 쪽에서 0으로 수렴한다. 즉 h^n→0+.
n이 홀수일 때에는, 0+일 때와 0-일 때 h^n이 다르다. 음수를 홀수 번 제곱하면 음수, 양수를 홀수 번 제곱하면 양수이기 때문이다. 그렇게 되면 h→0+일 때 h^n→0+,h→0-일 때 h^n→0-임.
이걸 이제 g(n)에서 해석해보자.
n이 짝수이면, h→0+이든 h→0-이든 h^n→0+이다. 즉 n-h^n은 n-이므로, g(n)은 |f(x)|의 x=n에서의 좌미분계수이다.
n이 홀수이면, h→0+일 때 h^n→0+이어서 n-h^n은 n-이고 ,h→0-일 때 h^n→0-이어서 n-h^n은 n+이다. 따라서 g(n)은 |f(x)|의 x=n에서의 미분계수이다.
여기까지가 첫 번째 관문. g(n) 해석하기이다.
네 번째 줄 - g(n)의 함숫값이 3개의 n에서만 음수랜다.
우선 g(n)은 f(x)가 아닌 |f(x)|에서 따진다. 1번째 줄에서 따진 경우에서 절댓값을 고려하면 가능한 경우는 2가지이다.
각각의 경우를 따지기 전에, 두 경우에서 공통적인 성질을 보자.
|f(x)|는 x<a인 곳에서의 미분계수가 음수, x>b인 곳에서는 미분계수가 양수이다. 그리고 a<x<b인 곳에서는 양수인 구간과 음수인 구간이 번갈아 나온다. x<a에서와 a<x<b에서 잘 조절하여 함숫값이 음수인 n의 개수를 맞춰야 될 것이다.
a가 큰 쪽에서부터 줄여나가보자.
1) a>4
인 순간에는 n = 1,2,3,4 인 곳에서 g(n)<0. 탈락.
2) a=4
n=1,2,3에서 g(n)<0. n=4로 짝수이므로 g(4)는 |f(x)|의 x=4에서의 좌미분계수. 만약 a가 접점이 아니라면 좌미분계수는 음수이므로 n이 1개가 더 추가된다. 안됨. a가 접점이다. 그러면 b가 접점이 아닌데.... 이때 b가 홀수인지, 짝수인지 따져야 한다.
홀수라면 좌미분계수와 우미분계수를 따져서 같은지 확인해야 한다. g(n)은 정의역이 자연수 전체의 집합이므로, 모든 자연수에 대해 함숫값이 존재해야 하기 때문이다.
짝수라면 좌미분계수만 확인하면 된다.
b가 홀수라면, 좌미분계수와 우미분계수를 모두 따지는데, b는 a의 조건 때문에 접점이 아닌 첨점이다. 즉, 좌미분계수와 우미분계수가 다르다. 좌우 극한값이 다르므로 극한값이 없다. 즉 함숫값이 존재하지 않는다. 모순.
b는 짝수이다. 좌미분계수를 따진다. b는 첨점이므로 좌미분계수는 음수이다. 즉, n=b가 추가되므로 g(n)은 4개 이상이다. 조건에 맞지 않으니 탈락.
3)a=3
a가 홀수이다. 2)번 케이스를 참고하면 |f(x)|는 x=a에서 접점. x=<a=3에서 g(n)이 음수인 n은 1,2의 2개.
x=b에서 첨점이므로 b는 짝수이고, n=b에서 음수인 n이 1개 추가된다. 그러면 a<x<b에서 음수인 n이 더이상 나오면 안 된다.
이때 세 번째 관문, 삼차함수의 비율관계를 써야 할 때가 온다. 극값의 위치를 통해 함숫값이 음수인 n이 1개만 포함되는 짝수 b값을 찾으면...
b=4,b=6의 2가지 케이스를 찾을 수 있다.
(3,4),(3,6)을 찾았다.
4)a=2
a가 짝수이므로, 접점이든, 첨점이든 상관없다. 그러면 이제는 케이스를 나누어야 한다.
①|f(x)|가 x=2에서 접점
x=<2에서 g(n)이 음수인 n은 n=1 1개. 위 풀이를 참조하면 b는 짝수여야 한다. g(n)이 음수인 n이 2개 추가되는 짝수 b를 찾으면 b=6,8에서 가능.
②|f(x)|가 x=2에서 첨점
x=<2에서 g(n)이 음수인 n은 n=1,2 2개. 위 풀이를 참조하면 b는 짝수이든 홀수이든 상관없다. g(n)이 음수인 n이 1개 추가되는 자연수 b값 찾으면 b=4,5에서 가능.
(2,4),(2,5),(2,6),(2,8)을 찾았다.
5)a=1
a가 홀수이므로 접점. n=<1인 자연수 중 g(n)이 음수인 자연수는 없음. b에서 첨점이므로 b는 짝수.
a<n=<b에서 n 3개를 채워넣어야 함.
마찬가지로 비율관계를 통해 가능한 짝수 b 찾으면 8,10이 가능.
(1,8),(1,10)을 찾았다.
따라서 정답은
(1,8),(1,10),(2,4),(2,5),(2,6),(2,8),(3,4),(3,6)
8개
g(n) 해석, a/b의 홀/짝 구분과 접점/첨점 구분, 비율관계 이용을 능숙하게 해내야 풀 수 있는 문제였음.
