지난번에 칸토어 보고서 쓴 중3인데 대수적 수가 가산임을 보이려고 고민해봤습니다
그런데 이 증명이 오류가 없는 증명인지 잘 모르겠어서 질문드립니다!
대수적 수는 유한한 길이의 정수 계수 방정식의 근이 되는 수이기 때문에, 그 특정한 방정식을 a₀+a₁x+a₂x²+...+aₙxⁿ = 0이라고 둔다면 소숫점 아래 자리가 3n 자리 있는 어떠한 소수를 생각해볼 수 있다. 그 소수의 자릿수는 다음과 같은 방법으로 정한다.
1. 만약 aᵢ가 양수라면 소숫점 아래 3i-2번째 자리를 aᵢ로 정한다.
2. 만약 aᵢ가 음수라면 소숫점 아래 3i-1번째 자리를 aᵢ로 정한다.
3. 위의 규칙에 따라 소숫점 아래 자리에 수를 붙인다면 소숫점 아래 3i번째 자리의 수는 무조건 빈 칸이 된다. 그런데 위의 방정식은 (중근을 포함한)근을 총 n개 가지므로, 가장 왼쪽의 소숫점 아래 3i번째 자리부터 근에 번호를 하나씩 써 붙인다. 모든 자연수 n에 대해 10ⁿ ≥ n임은 자명하므로 위와 같은 형태의 모든 방정식의 근에는 순서대로 번호를 매길 수 있다.
예를 들어 x⁴-3x²+2x+1=0이라는 방정식의 근을 위 규칙에 의한 소수로 나타내어 보자.
우선 기본 꼴은 0.100 200 030 000 400이 되며, 가장 왼쪽의 빈 자리부터 근에 번호를 붙인다면
첫 번째 근은 0.101 200 030 000 400, 두 번째 근은 0.102 200 030 000 400, 이러한 방식으로 각 근을 소수에 대응시킨다.
이러한 방식으로 위와 같은 형태의 모든 방정식의 근에 유리수를 하나씩 대응시킨다면, 대수적 수 𝔸 → ℚ 사이에 단사함수가 존재하므로 대수적 수는 가산이라고 할 수 있다. □
수학적으로 완전한 표기를 사용한 것도 아니고, 아직 잘 알지 못해서 죄송합니다!
